Distribución singular

Una distribución singular (con respecto a la medida ) es una distribución de probabilidad centrada en un conjunto tal que . Sin embargo, a menudo se usa una definición más estrecha, que dice que una distribución en el espacio se llama singular , concentrada en un conjunto de medida de Lebesgue cero y asignando probabilidad cero a cada conjunto de un punto [1] . Es importante señalar que según la definición general, toda distribución discreta es singular con respecto a la medida de Lebesgue, pero en una definición particular, las distribuciones discretas se derivan del conjunto de las singulares. $\mu$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ mu (M) = 0}$ $\mathbb{R} ^{n}$

Para un espacio unidimensional, también se puede argumentar que la distribución es singular si el conjunto de puntos de crecimiento de la función de distribución tiene medida cero.

Propiedades

Una distribución singular no puede ser absolutamente continua (por el teorema de Radon-Nikodim ).

Cualquier distribución de probabilidad se puede representar como la siguiente suma: $F$

{\displaystyle F=pF_{s}+qF_{ac))

donde , , , la distribución es singular con respecto a la medida , y la distribución es absolutamente continua con respecto a la misma medida [2] . ${\ estilo de visualización \ cuádruple p \ geqslant 0}$ ${\ estilo de visualización q \ geqslant 0}$ $p+q=1$ ${\ Displaystyle F_ {s}}$ $\mu$ ${\ Displaystyle F_ {ac}}$

Ejemplos

El ejemplo más simple de una distribución singular es una distribución centrada en un conjunto de Cantor (su función de distribución es la escalera de Cantor ).

Una distribución singular más común en problemas prácticos es la distribución de direcciones aleatorias en un espacio euclidiano bidimensional [2] . La dirección aleatoria corresponde a un vector unitario rotado en un ángulo aleatorio con respecto al vector . Elegir una dirección aleatoria equivale a elegir un punto aleatorio en el círculo unitario, el cual, a su vez, tiene área cero, por lo tanto, esta distribución es singular. $(1.0)$

Notas

↑ Distribución singular // Enciclopedia matemática : [en 5 tomos] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.
↑ 1 2 Feller V. Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. - 2ª ed. - M. : Mir, 1964. - T. 2. - S. 177-179.