Homología singular

La homología singular es una teoría de la homología en la que la invariancia y la funcionalidad se vuelven obvias de inmediato, pero la definición básica requiere trabajar con espacios de dimensión infinita.

Edificio

Sea cualquier espacio topológico . $X$

Un simplex de dimensión singular es un par donde es el simplex estándar , y es su mapa continuo a ; . $k$ $(\Delta^{k},f)$ $\Delta^{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $F$ $X$ $f:\Delta ^{k}\a X$

Definimos el grupo de cadenas singulares como un conjunto de combinaciones lineales formales:

c_{k}=\sum_{i}z_{i}(\Delta^{k},f_{i})

con coeficientes enteros (generalmente también se consideran limitados) .

z_{yo}

En este caso, para un mapeo lineal definido por una permutación de puntos , se asume . ${\displaystyle s_{\pi }:\Delta^{k}\to\Delta^{k))$ $\Pi$ $(a_{0},a_{1},...~a_{k})$ $(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })$

El operador de límite se define en el símplex singular de la siguiente manera: $\parcial$ $(\Delta _{k},f)$

\parcial (\Delta_{k},f)=\sum_{i}(-1)^{i}(\Delta_{k-1},f_{i})

donde es el símplex de dimensión estándar, y , dónde es su mapeo en la cara th del símplex estándar . $\Delta _{k-1}$ $(k-1)$ $f_{i}=f\circ\epsilon _{i}$ $\epsilon _{i}$ $i$ $\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i))},...~a_{k}\rangle )$

De manera similar a la homología simplicial, demostramos que . $\parcial \parcial =0$

Como antes, se introducen los conceptos de ciclos singulares , es decir, cadenas tales que , y fronteras , es decir, cadenas para algunos . $c_{k}$ $\parcial {c_{k}}=0$ $c_{k}=\parcial {c_{k+1}}$ $c_{k+1}$

El grupo de factores del grupo del ciclo sobre el grupo límite se denomina grupo de homología singular . $H_{k}=Z_{k}/B_{k}$

Ejemplo

Encontremos, por ejemplo, la homología singular del espacio desde un punto . $X=*$

Sólo hay una asignación para cada dimensión . $f^{k}:\Delta^{k}\a *$

El límite del simplex , donde todos son iguales, ya que asignan el simplex a un punto (denotamos ). $\parcial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1 })$ $f_{i}^{k-1}$ $f^{k-1}$

Medio:

\parcial (\Delta ^{k},f^{k})=0

, si es impar (el número de términos en la suma es par y los signos se alternan);

k

\parcial (\Delta ^{k},f^{k})=(\Delta ^{k-1},f^{k-1})

, si y es par;

k\no=0

\parcial (\Delta ^{k},f^{k})=0

si _

k=0

De aquí obtenemos para dimensión cero: $Z_{0}=C_{0}=\mathbb {Z} ;\quad B_{0}=0;\quad H_{0}=\mathbb {Z} .$

Para dimensión impar $k=2n-1:Z_{k}=C_{k}=\mathbb {Z} ;\quad B_{k}=\mathbb {Z} ;\quad H_{k}=0.$

Para una dimensión uniforme $k=2n\not =0:Z_{k}=0;\quad B_{k}=0;\quad H_{k}=0.$

Es decir, el grupo de homología es igual a dimensión cero e igual a cero para todas las dimensiones positivas. $\matemáticas {Z}$

Se puede probar que en el conjunto de poliedros la homología singular coincide con las simpliciales definidas anteriormente.

Historia

La homología singular fue introducida por Lefschetz .