Grupo de factores

Un grupo cociente es un conjunto de clases laterales de un grupo con respecto a su subgrupo normal , que a su vez es un grupo con una operación de grupo definida de manera especial.

El grupo de factores de un grupo por un subgrupo normal generalmente se denota por . $GRAMO$ $H$ $G/H$

La imagen de un grupo bajo un homomorfismo es isomorfa a su grupo factorial con respecto al núcleo de este homomorfismo.

Definición

Sea un grupo , sea su subgrupo normal y sea un elemento arbitrario. Luego en las clases laterales en $GRAMO$ $H$ $a \ en G$ $H$ $GRAMO$

aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}

puede ingresar la multiplicación :

(aH)(bH)=abH

Es fácil comprobar que esta multiplicación no depende de la elección de elementos en las clases laterales, es decir, si y , entonces . Esta multiplicación determina la estructura del grupo en el conjunto de clases laterales, y el grupo resultante se denomina grupo factorial con respecto a . $aH=a'H$ $bH=b'H$ $abH=a'b'H$ $G/H$ $GRAMO$ $H$

Propiedades

Teorema del homomorfismo: para cualquier homomorfismo $\varphi :G\to K$

G/{\mathrm {Ker}}\,\varphi\cong\varphi (G)

, es decir, el grupo cociente con respecto al núcleo es isomorfo a su imagen en .

GRAMO

{\mathrm {ker}}\,\varphi

\varfi (G)

k

El mapeo define un homomorfismo natural . $a\mapsto aH$ $G\a G/H$
El orden es igual al índice del subgrupo . En el caso de un grupo finito , es igual a . $G/H$ $[G:H]$ $GRAMO$ $|G|/|H|$
Si es abeliano , nilpotente , soluble , cíclico o de generación finita , entonces u tendrá la misma propiedad. $GRAMO$ $G/H$
$G/G$ es isomorfo al grupo trivial ( ), isomorfo a . $\{mi\}$ $G/{e}$ $GRAMO$

Ejemplos

Sea , , entonces isomorfo a . $G={\mathbb{Z}}$ $H=n\mathbb {Z}$ $G/H$ $\mathbb {Z} _{n}$
Sea (grupo de matrices triangulares superiores no degeneradas ), (grupo de matrices unitriangulares superiores ), entonces es isomorfo al grupo de matrices diagonales . $G={\mathbf{UT}}_{n}$ $H={\mathbf {SUT}}_{n}$ $G/H$
Sea ( grupo simétrico ), ( grupo de Klein cuaternario , que consta de permutaciones e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) isomorfo a . ${\ Displaystyle G = S_ {4}}$ ${\ Displaystyle H = V_ {4}}$ $G/H$ $S_{3}$
Sea (grupo simétrico), ( grupo alterno ), luego isomorfo a . ${\ Displaystyle G = S_ {n}}$ $H=A_{n}$ $G/H$ ${\matemáticas {Z}}_{2}$
Sea ( grupo de cuaterniones ), (grupo cíclico formado por 1, −1) isomorfo a . $G=Q_{8}$ ${\displaystyle H=\mathbb {Z} _{2))$ $G/H$ $V_{4}$

Variaciones y generalizaciones

Notas

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - M. : Prensa Factorial, 2002. - ISBN 5-88688-060-7 .

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier