Integral curvilínea

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Una integral curvilínea es una integral calculada a lo largo de una curva .

Se hace una distinción entre una integral curvilínea del primer tipo , en la que la función escalar se multiplica por una longitud infinitamente pequeña de la región de la curva, y del segundo tipo , donde la función vectorial se multiplica escalarmente por un vector infinitamente pequeño que se encuentra a lo largo la curva, que está dotada de una dirección .

Definición

Condiciones iniciales

Curva

Sea una curva suave ( diferenciable continuamente ) sin puntos singulares ni autointersecciones (se permite una autointersección, en el caso de una curva cerrada), dada paramétricamente : $yo$

l\dos puntos ~\mathbf {r} (t),

donde r es el radio vector , cuyo final describe la curva, y el parámetro t se dirige desde algún valor inicial a hasta el valor final b . Para una integral del segundo tipo, la dirección en la que se mueve el parámetro determina la dirección de la curva misma No importa cuál sea mayor - b o a . [una] ${\ estilo de visualización l.}$

Función integrable

Sea dada una función escalar o vectorial, de la cual la integral a lo largo de la curva o ${\ estilo de visualización l \ dos puntos}$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {r})}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {f} (\ mathbf {r}).}$

Desglose

Particionamiento del segmento de parametrización

Sea dada una partición de un segmento (o ), es decir, un conjunto donde: $[a,b]$ ${\ estilo de visualización [b, a]}$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}=\{t_{0},~...,t_{n}\},$
- $a=t_{0}<\ldots <t_{n}=b,$ si ${\ estilo de visualización a <b;}$
- o si $a={{t}_{0}}>\ldots >{{t}_{n}}=b,$ ${\ estilo de visualización a> b.}$

La finura de esta partición es un número que indica la distancia máxima posible entre todos los valores vecinos de esta partición. $\max _{k={\overline {1,n))}\{|t_{k}-t_{k-1}|\},$

Introduzcamos un conjunto de puntos de partición intermedios , puntos cada uno de los cuales se encuentra entre y ( ). ${\ estilo de visualización \ xi _ {k},}$ ${\ Displaystyle t_ {k-1}}$ $gracias$ $k=\sobrelínea {1,n}$

Rompiendo una curva

Definamos una partición de la curva que corresponda a la partición del segmento de parametrización. $\{\mathbf {r} (t_{k})\}_{k=0}^{n},$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$

Para denote la parte de la curva desde el valor del parámetro hasta el valor donde ${\ Displaystyle l_ {k}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} (t)}$ ${\ Displaystyle t = t_ {k-1}}$ $t=t_{k},$ $k={\overline{1,n)).$

Definamos un conjunto de puntos intermedios de división de la curva, puntos cada uno de los cuales se encuentra en ( ). ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} (\ xi _{k}),}$ ${\ Displaystyle l_ {k}}$ $k=\sobrelínea {1,n}$

Sumas integrales

A continuación, para determinar las sumas integrales, se utilizan puntos intermedios, particiones y secciones de la curva Consideremos dos sumas integrales : ${\ estilo de visualización \ mathbf {r} (\ xi _{k}),}$ $\{t_{k}\}_{k=0}^{n}$ ${\ Displaystyle l_ {k}}$ ${\ estilo de visualización l.}$

la suma integral para la integral del primer tipo: $\sum \limits _{k=1}^{n}f{\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot |l_{k}|,$ donde | lk | _ — longitud de la sección l k ;

suma integral para la integral de la segunda clase: $\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {r} (\xi _{k}){\big )}\cdot {\big (}\mathbf {r} (t_{k})-\mathbf {r} (t_{k-1}){\grande)},$

donde la función vectorial f es escalar multiplicada por el incremento r ( t k ) − r ( t k −1 ).

Integral curvilínea

Si en la integral suma n se aumenta ilimitadamente de manera que la finura tiende a cero, entonces en el límite obtenemos una integral curvilínea de la función ( ) a lo largo de la curva, si este límite realmente existe, entonces decimos que la función ( ) es integrables a lo largo de la curva , entonces las integrales de primera y segunda clase son : $F$ $\mathbf {f}$ ${\ estilo de visualización l.}$ $F$ $\mathbf {f}$ ${\ estilo de visualización l.}$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |},\quad \int _{l}\mathbf {f(r)\cdot dr} ,

donde dr es el vector diferencial a lo largo de la curva. En el caso de una integral del segundo tipo, la dirección de la curva es importante: la dirección de la propia diferencial dr depende de esto .

Si la curva está cerrada (el comienzo coincide con el final), entonces, en lugar del ícono , se acostumbra escribir $yo$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ int }$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ punto.}$

Integral curvilínea de primera clase

Propiedades

Linealidad: $\int _{l}(\alpha f(\mathbf {r} )+\beta g(\mathbf {r} ))\cdot \mathbf {|dr|} =\alpha \int _{l} f\mathbf {|dr|} +\beta \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
Aditividad: si y se intersecan en un punto, entonces $l_{1}$ $l_{2}$ $\int _{l_{1}\cup l_{2}}f\mathbf {|dr|} =\int _{l_{1}}f\mathbf {|dr|} +\int _{l_ {2}}f\mathbf {|dr|} .$
Monotonicidad: si está activado , entonces $f \ leqslant g$ $yo$ $\int _{l}f\mathbf {|dr|} \leqslant \int _{l}g\mathbf {|dr|} .$
El teorema del valor medio: si la función en es continua , es posible que la integral elija un punto tal que $F$ $yo$ $\textstyle \int _{l}f\mathbf {|dr|}$ ${\ estilo de visualización \ xi \ en l,}$ $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =\int _{l}f(\xi )\mathbf {|dr|} ,$ o, lo que es lo mismo, $\int _{l}f\mathbf {(r)|dr|} =f(\xi)\cdot |l|.$
Cambiar la dirección de eludir la curva de integración no afecta el signo de la integral: $\int_{AB}f\cdot |\mathbf {dr} |=\int_{BA}f\cdot |{-}\mathbf {dr} |=\int_{BA}f\cdot | \mathbf {dr} |.$
La integral curvilínea del primer tipo no depende de la parametrización de la curva.

Cálculo

Sea una curva suave, rectificable (de longitud finita) dada paramétricamente (como en la definición de ). Sea la función definida e integrable a lo largo de la curva , entonces en el caso general $yo$ ${\ estilo de visualización f (\ mathbf {r})}$ ${\ estilo de visualización l.}$

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|=\int _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)dt|,

o, si expandimos el módulo del diferencial d t ,

\int _{l}{f(\mathbf {r} )|\mathbf {dr} |}={\begin{casos}\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf { r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot { r}} (t)|(-dt),&{\text{if}}~a<b,\\\int \limits _{a}^{b}f(\mathbf {r} )\cdot | \mathbf {\dot {r}} (t)|(-dt)=\int \limits _{b}^{a}f(\mathbf {r} )\cdot |\mathbf {\dot {r}} (t)|dt,&{\text{si}}~a>b.\end{casos}}

donde el punto denota la derivada con respecto a t .

Integral curvilínea de segunda especie

Propiedades

1. Linealidad:

\int _{l}(\alpha \mathbf {f} +\beta \mathbf {g} )\cdot \mathbf {dr} =\alpha \int _{l}\mathbf {f\cdot dr} +\beta \int _{l}\mathbf {g\cdot dr} .

2. Aditividad:

\int_{AB}\mathbf {f\cdot dr} +\int_{BC}\mathbf {f\cdot dr} =\int_{ABC}\mathbf {f\cdot dr} .

3. $\int_{BA}\mathbf {f\cdot dr} =\int_{AB}\mathbf {f} \cdot (-\mathbf {dr} )=-\int_{AB}\mathbf { f\cdot dr} .$

Comentario. Para integrales curvilíneas del segundo tipo, la propiedad de monotonicidad, la estimación del módulo y el teorema del valor medio no son válidos.

Cálculo

Sea AB una curva suave dada paramétricamente (como en la definición de ) y dotada de una dirección de A a B . Sea la función definida e integrable a lo largo de la curva Entonces $\mathbf {f}$ ${\ estilo de visualización l.}$

\int _{AB}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt,

y al cambiar el recorrido de la curva:

\int _{BA}\mathbf {f(r)\cdot dr} =\int_{b}^{a}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t )dt=-\int _{a}^{b}\mathbf {f(r)\cdot {\dot {r))} (t)dt.

La relación de las integrales curvilíneas

Si denotamos como vector unitario la tangente a la curva que tiene la misma dirección que la propia curva está parametrizada, entonces la relación entre las integrales curvilíneas es la siguiente: ${{\vec {\tau}}}$ ${\ estilo de visualización l,}$

\mathbf {\color {Verde}dr} ={\vec {\tau}}\mathbf {\color {Verde}|dr|} .

En términos de las propias integrales, se ve así:

\int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Verde}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color {Verde} |dr|} ,

donde es una curva suave, rectificable, dotada de una dirección, y la función vectorial es integrable sobre ella. $yo$ $\mathbf {f}$

Espacio euclidiano tridimensional

En el espacio euclidiano tridimensional, las diferenciales de las coordenadas de un vector dirigido a lo largo de una curva dirigida se expresan en términos de cosenos directores , usando la definición de un producto escalar :

dx=\cos \angle ({\vec {i)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dy=\cos \angle ({\vec {j)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

dz=\cos \angle ({\vec {k)),{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Luego, expandiendo el producto escalar en coordenadas, la relación de integrales curvilíneas se puede expresar de la siguiente manera: $\textstyle \int _{l}\mathbf {f\cdot \color {Verde}dr} =\int _{l}\mathbf {(f\cdot {\vec {\tau }})\color { Verde}|dr|}$

\int _{l}f_{x}(x,y,z)dx=\int _{l}f_{x}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {i} },{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

\int _{l}f_{y}(x,y,z)dy=\int _{l}f_{y}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {j} },{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |;

\int _{l}f_{z}(x,y,z)dz=\int _{l}f_{z}(x,y,z)\cos \angle ({\vec {k} },{\vec {\tau )))|\mathbf {dr} |.

Aplicaciones mecánicas

El trabajo A para mover un punto material a lo largo de una curva dirigida l bajo la influencia de una fuerza F es

A=\int _{l}\mathbf {F\cdot dr} .

La masa m de un cuerpo curvilíneo (infinitamente delgado) l , cuya densidad lineal a lo largo de la curva l es igual a μ ( r ), se expresa mediante la integral

m=\int _{l}\mathbf {\mu (r)|dr|} .

El centro de masa (centro de gravedad) de un cuerpo curvilíneo l con densidad lineal μ ( r ) se expresa en términos del radio vector r c como

\mathbf {r} _{c}={\frac {1}{m}}\int _{l}\mu (\mathbf {r} )\mathbf {r|dr|} ,

donde m es la masa de la curva l .

Momentos de inercia de la curva l durante su rotación alrededor de los ejes de coordenadas en el espacio tridimensional:

I_{x}=\int _{l}(y^{2}+z^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,

I_{y}=\int _{l}(z^{2}+x^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} ,

I_{z}=\int _{l}(x^{2}+y^{2})\mu \mathbf {(r)|dr|} .

La fuerza de atracción de una masa puntual m 0 en el origen con un cuerpo curvilíneo l es igual a

\mathbf {F} =\gamma m_{0}\int _{l}{\frac {\mu (\mathbf {r} )}{r^{3}}}|\mathbf {dr} | ,

donde μ ( r ) es la densidad lineal de la curva l , γ es la constante gravitacional .

Véase también

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4166227-1 NKC : ph122154

Notas

↑ Fikhtengolts, Grigory Mijailovich . Curso de cálculo diferencial e integral, capítulo 9, párrafo 2 "Propiedades de las integrales definidas". . Consultado el 8 de junio de 2021. Archivado desde el original el 19 de julio de 2020. (indefinido)

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