Derivada débil

La " derivada débil " (en matemáticas ) es una generalización del concepto de derivada de una función ("derivada fuerte") para funciones que son integrables según Lebesgue (es decir, desde el espacio $L_{1}$ ), pero no diferenciables .

Definición

Sea una función de . Una función de se llama "derivada débil" si $tu$ ${\ estilo de visualización L ^ {1} ([a, b])}$ ${\ estilo de visualización v (t)}$ ${\ estilo de visualización L ^ {1} ([a, b])}$ $tu$

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt

para todas las funciones continuamente diferenciables para . Esta definición se basa en el método de integración por partes . $\varphi$ ${\ estilo de visualización \ varphi (a) = \ varphi (b) = 0}$

Generalizando a medidas, si y pertenecen al espacio de funciones localmente integrables para algún dominio , y si es un índice múltiple , entonces se llama derivada débil del orden si $norte$ $tu$ $v$ $L_{ubicación}^{1}(U)$ $U\subconjunto {\mathbb {R}}^{n}$ $\alfa$ $v$ $tu$ $\alfa$

\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi

para todos : finito en funciones infinitamente suaves. $\varphi \in C_{c}^{\infty}(U)$ $tu$

Si una función tiene una derivada débil, a menudo se denota por , ya que es única hasta un conjunto de medida cero. $tu$ $D^{\alfa}u$

Ejemplos

Función u : [−1, 1] → [0, 1], u ( t ) = | t |, que no tiene derivada en el punto t = 0, sin embargo tiene una débil derivada v en el intervalo [−1, 1] , la llamada “función de signo” ( sgn ), definida por la siguiente relación:

v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0; \\-1,&t<0.\end{casos}}

Esta no es la única derivada de u : cualquier función w que coincida con v en casi todas partes será también una derivada débil de u . Por lo general, esto no es un problema, ya que desde el punto de vista de los espacios Lp y los espacios de Sobolev son equivalentes.

La función característica del conjunto de números racionales D ( la función de Dirichlet ) no es diferenciable en ninguna parte, pero tiene una derivada débil en todas partes. Como la medida de Lebesgue de los números racionales es igual a cero, entonces

{\ estilo de visualización \ int D (t) \ varphi (t) dt = 0}

Por tanto, existe una derivada débil de la función D . Esto debería ser intuitivo, porque D en el espacio Lp es equivalente al cero idéntico.

v(t)\equiv 0

Propiedades

Si dos funciones son derivadas débiles de la misma función, entonces coinciden en un conjunto de medida completa ( casi en todas partes ). Si, como es habitual en los espacios , suponemos que casi en todas partes las funciones iguales son equivalentes, entonces la derivada débil está definida de forma única. $L_{p}$

Si u tiene una derivada ordinaria ("fuerte"), entonces será una derivada débil. En este sentido, la derivada débil es una generalización de la fuerte. Además, las reglas clásicas para derivadas de sumas y productos de funciones también se conservan para derivadas débiles.

Desarrollo

El concepto de un derivado débil sentó las bases para la construcción de los llamados. soluciones débiles en el espacio de Sobolev , que resultaron útiles en la teoría de ecuaciones diferenciales y en el análisis funcional .

Literatura

Mikhlin S.G. Curso de física matemática. - 2º, estereotipado. - San Petersburgo. : Lan, 2002. - 576 p. — ISBN 5-8114-0468-9 .
Sobolev S.L. Algunas aplicaciones del análisis funcional en la física matemática. — 3ª ed., revisada y complementada. — M .: Nauka , 1988. — 336 p. — ISBN 5-02-013756-1 .
Ladyzhenskaya O.A. , Uraltseva N. N. Ecuaciones lineales y cuasilineales de tipo elíptico. — M .: Nauka , 1973. — 576 p.