Volumen mixto

El volumen mixto es una característica numérica de un conjunto de cuerpos convexos en un espacio euclidiano bidimensional. $norte$ $norte$

El volumen mixto de un conjunto generalmente se denota ${\displaystyle K_{1},K_{2},\puntos,K_{n))$

V(K_{1},K_{2},\puntos,K_{n})

Definición

Sea el conjunto de cuerpos convexos y sean números reales positivos. Denotar por el volumen del cuerpo. ${\displaystyle K_{1},K_{2},\puntos,K_{n))$ $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos, \ lambda _ {n}}$ ${\ Displaystyle v (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos, \ lambda _ {n})}$

\lambda _{1}\cdot K_{1}+\lambda _{2}\cdot K_{2}+\dots +\lambda _{n}\cdot K_{n},

donde " " denota la suma de Minkowski y $+$

\lambda _{i}\cdot K_{i}=\{\,\lambda \cdot x\mid x\in K_{i}\,\}.

La función es un polinomio homogéneo de grado . El coeficiente de este polinomio en es, por definición, igual a . ${\ Displaystyle v (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos, \ lambda _ {n})}$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1} \ cdot \ lambda _ {2} \ cdot \ puntos \ cdot \ lambda _ {n}}$ $n!\cdot V(K_{1},K_{2},\dots,K_{n})$

Darse cuenta de

v(\lambda_{1},\lambda_{2},\puntos,\lambda_{n})=\sum_{i_{1},\puntos,i_{n}=1}^ {n}V(K_{i_{1}},K_{i_{2}},\puntos,K_{i_{n}})\cdot \lambda _{i_{1}}\cdot \lambda _{i_ {2}}\cdot \dots \cdot \lambda _{i_{n}}.

Propiedades

Para números arbitrarios no negativos , ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ puntos, \ lambda _ {n}}$ $V(\lambda_{1}\cdot K_{1},\lambda_{2}\cdot K_{2},\dots,\lambda_{n}\cdot K_{n})=\lambda _ {1}\cdot \lambda_{2}\cdot \dots \cdot \lambda_{n}\cdot V(K_{1},K_{2},\dots,K_{n})$
El volumen mixto es invariante bajo traslaciones paralelas de cuerpos en un conjunto.
El volumen mixto es monótono respecto a la inclusión de cuerpos.
El volumen mixto es continuo con respecto a la métrica de Hausdorff .
El volumen de mezcla no es negativo.
- Además, si y solo si es posible dibujar un segmento en cada uno de manera que estos segmentos sean linealmente independientes. $V(K_{1},K_{2},\puntos,K_{n})>0$ $K_{yo}$
Para un número entero no negativo , el volumen mixto de copias del cuerpo convexo y copias de la bola unitaria se expresa en términos de la medida transversal promedio -ésima . En particular ${\ Displaystyle k \ leq n}$ $nk$ $k$ $\mathbb{R} ^{n}$ $k$ $k$ $k$
- El volumen mixto de un juego de copias es igual al volumen normal . $norte$ $k$ $k$
- El volumen mixto de un conjunto de lanzas y una sola bola es igual al área de la superficie . $n-1$ $k$ ${\ fracción {1}{n}}$ $k$
El número típico de soluciones a un sistema de ecuaciones polinómicas es igual al volumen mixto de los poliedros de Newton . $f_{1}=f_{2}=\puntos =f_{n}=0$ $f_{i}$
Desigualdad de Minkowski $V^{n}(K,L,\dots,L)\geq V(K)\cdot V^{n-1}(L)$
Desigualdad de Aleksandrov - Fenchel $V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3} ,\ldots,K_{n})\cdot V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots,K_{n})}}.$

Véase también

teorema de Hadwiger

Literatura

Burago, Yuri Dmitrievich , Viktor Abramovich Zalgaller . Desigualdades geométricas. Ciencia, 1980.