Doble espacio

El espacio dual (a veces el espacio dual ) es el espacio de funcionales lineales en un espacio vectorial dado .

Definición

El conjunto de todos los funcionales lineales continuos definidos en un espacio vectorial topológico también forma un espacio vectorial. Este espacio se llama dual to , por lo general se denota . El conjunto de todos los funcionales lineales en , no necesariamente continuos, se llama algebraicamente conjugado a , generalmente se denota [1] . $mi$ $mi$ $mi^{*}$ $mi$ $mi$ ${\ estilo de visualización E ^ {\ #}}$

En el caso (usualmente considerado en álgebra lineal) cuando el espacio vectorial es de dimensión finita, todos los funcionales lineales son automáticamente continuos, y el espacio dual consiste simplemente en todos los funcionales lineales (funciones) en . En el caso (generalmente considerado en el análisis funcional), cuando es de dimensión infinita, en términos generales, [1] . $mi$ $E^{*}=E^{\#}$ $mi$ $mi$ $E^{*}\neq E^{\#}$

En cálculo tensorial , la designación se utiliza para elementos (índice superior o contravariante ) y para elementos (índice inferior o covariante ). $x^{k}$ $mi$ $x_k$ $mi^{*}$

Asignaciones duales

Un mapeo dual es un mapeo lineal entre espacios vectoriales duales a datos, inducido por un mapeo entre los propios espacios.

Sean espacios vectoriales y sean espacios vectoriales duales. Para cualquier mapeo lineal, el mapeo dual (en orden inverso) se define como ${\ estilo de visualización V, W}$ $V^{*},W^{*}$ ${\ estilo de visualización f: V \ a W}$ ${\ estilo de visualización f^{*}:W^{*}\a V^{*}}$

f^{*}(\varphi)=\varphi \circ f\,

para cualquier ${\ estilo de visualización \ varphi \ en W ^ {*}}$

Propiedades

Espacios de dimensión finita [2]

El espacio dual tiene la misma dimensión que el espacio sobre el campo . Por lo tanto, los espacios y son isomorfos . $mi^{*}$ $mi$ $F$ $mi$ ${\ estilo de visualización E ^ {*}}$
Cada base espacial se puede asociar con la llamada base espacial dual (o recíproca ) , donde el funcional es una proyección sobre un vector : ${\displaystyle e^{1},\ldots,e^{n))$ $mi$ $e_{1},\ldots,e_{n}$ $mi^{*}$ $e_{yo}$ ${\ Displaystyle e ^ {i}}$ $e_{i}(x)=e_{i}(\alpha _{1}e^{1}+\ldots +\alpha _{n}e^{n})=\alpha _{i} ,\quad \forall x\in E.$
Si el espacio es euclidiano , es decir, sobre él se define el producto escalar , entonces entre y existe el llamado isomorfismo canónico (es decir, un isomorfismo que no depende de las bases elegidas), definido por la relación $mi$ $mi$ $mi^{*}$ $v\in E\mapsto f\in E^{*},\quad f(x)=\langle x,v\rangle ,\ \forall x\in E.$
El segundo espacio dual es isomorfo a . Además, existe un isomorfismo canónico entre y (no se supone que el espacio es euclidiano) definido por la relación $E^{{**}}$ $mi$ $mi$ $E^{{**}}$ $mi$ $x\in E\mapsto z\in E^{**},\quad z(f)=f(x),\ \forall f\in E^{*}.$
El isomorfismo canónico definido anteriormente muestra que los espacios y juegan un papel simétrico: cada uno de ellos es dual al otro. Para resaltar esta simetría, for se escribe a menudo como un producto escalar. $E\a E^{**}$ $mi$ ${\ estilo de visualización E ^ {*}}$ $x\en mi,\ f\en mi^{*}$ ${\ estilo de visualización f (x) = (x, f)}$

Espacios de dimensión infinita

Si el espacio vectorial está normado , entonces el espacio dual tiene una norma natural: esta es la norma del operador de funcionales continuos. El espacio es Banach [3] [1] . $mi$ $mi^{*}$ $mi^{*}$

Si el espacio es Hilbert , entonces de acuerdo con el teorema de Riesz hay un isomorfismo entre y , y, de manera similar al caso de dimensión finita, cada funcional lineal acotado se puede representar a través de un producto interno usando algún elemento espacial [4] . $mi$ $mi$ $mi^{*}$ $mi$

El conjugado del espacio $L^{p}$ , , es el espacio , donde . De manera similar, conjugado a , , es con la misma relación entre p y q . $1<p<\infty$ $L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $l^{p}$ $1<p<\infty$ ${\ estilo de visualización l^{q))$

Variaciones y generalizaciones

El término espacio dual puede tener un significado diferente para espacios vectoriales sobre el campo de los números complejos : un espacio coincidente con un espacio vectorial real , pero con una estructura diferente de multiplicación por números complejos: $\desnudo$ $mi$ ${{\bar c}}{{\bar x}}=\overline {cx}$
Si hay una métrica hermitiana en el espacio (por ejemplo, en un espacio de Hilbert ), los espacios linealmente conjugados y conjugados complejos coinciden.

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - Cualquier edición.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. III, § 7. - M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 2.ª ed. Moscú: Nauka, 1965, página 147.
↑ Halmos P. Teoría de la medida. M.: Editorial de literatura extranjera, 1953.