Norma del operador

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Una norma de operador es una norma definida en operadores lineales acotados de un espacio normado a otro. También llamado operador , subordinado o norma inducida .

La norma de operadores transforma el propio espacio lineal de operadores en un espacio normado. La estructura correspondiente del espacio topológico lineal de operadores se denomina topología normal o topología de operadores (sin especificación ).

Definición y notación

En lo que sigue, K denotará el campo principal , que es un campo normado . Generalmente K = o K = . $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$

Sean V 1 y V 2 dos espacios lineales normados sobre K y T un operador lineal de V 1 a V 2 . Si existe un número no negativo [1] M tal que

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

entonces el operador T se llama acotado , y el M mínimo posible se llama su norma ‖T‖ . Si V 1 es de dimensión finita , entonces todo operador está acotado.

La norma del operador T se puede calcular mediante la fórmula [2] :

{\begin{alineado}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{alineado}}

Si el espacio V 1 consta de un cero , entonces la fórmula dada no funciona, pero ‖ T ‖ = 0 porque T = 0 .

El espacio lineal de operadores acotados de V 1 a V 2 se denota por . En el caso de que escriban en lugar de . Si es un espacio de Hilbert , entonces a veces escriben en lugar de . ${\ estilo de visualización L (V_ {1}, V_ {2})}$ $V_{1}=V_{2}=V$ $L(V)$ ${\ estilo de visualización L (V, V)}$ $H$ $segundo(alto)$ $largo(alto)$

Propiedades

Limitación y continuidad

El operador lineal entre espacios normados está acotado entonces y sólo cuando es continuo .

Norma

En se puede introducir la estructura de un espacio vectorial con operaciones y , donde , , y es un escalar arbitrario. La norma del operador hace del espacio lineal de operadores acotados un espacio normado , es decir, satisface los axiomas correspondientes: ${\ estilo de visualización L (V_ {1}, V_ {2})}$ $(T+S)x=Tx+Sx$ ${\ estilo de visualización T (\ alfa x) = \ alfa (Tx)}$ $T,S\en L(V_{1},V_{2})$ $x\en V_{1}$ $\alfa \in K$

${\ estilo de visualización \| T \ | \ geqslant 0}$ (por definición)
${\ estilo de visualización \|T\|=0}$ si y solo si (sigue de la definición de un espacio normado) $T=0$
$\|\alfa T\|=|\alfa |\|T\|$ para todos $\alfa$ $k$
$\|S+T\|\leqslant\|S\|+\|T\|$ para todos los operadores acotados y de V 1 a V 2 . $S$ $T$

Submultiplicatividad

Si S es un operador de V 2 a V 3 y T es un operador de V 1 a V 2 , entonces su producto S T se define como una composición de funciones S ∘ T . La norma del operador satisface la propiedad de submultiplicatividad :

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

En el caso V 1 = V 2 = V , los operadores acotados se pueden multiplicar sin salir del espacio , por lo que la norma de operadores transforma el álgebra de operadores en un álgebra normada . $L(V)$ $L(V)$

Integridad

Un espacio es de Banach si y sólo si V 1 es de dimensión cero [3] o V 2 es de Banach. ${\ estilo de visualización L (V_ {1}, V_ {2})}$

Si V es un espacio de Banach, entonces con la multiplicación presentada anteriormente es un álgebra de Banach . $L(V)$

Ejemplos de uso

Entre espacios de dimensión finita

Las normas de operadores (para varias normas sobre vectores) constituyen una clase importante de posibles normas sobre espacios matriciales .

Sobre los espacios de Hilbert

El álgebra de operadores acotados (en un espacio de Hilbert H ) con norma de operador es un álgebra C* con la operación de involución dada por la conjugación hermítica . Al mismo tiempo, el álgebra de operadores compactos es su *-subálgebra cerrada e incluso su ideal . $largo(alto)$

Comparaciones

Operador norma con otras normas

Otras normas más estrictas también se definen en operadores en un espacio de Hilbert, por ejemplo, la norma de Hilbert-Schmidt . En el caso de dimensión infinita, tales normas no están definidas (infinitas) en algunos operadores acotados .

Topologías de norma con otras

En el caso de dimensión finita (cuando ambos espacios V 1 y V 2 son de dimensión finita), también es de dimensión finita y todas las topologías (y normas) en dicho espacio lineal son equivalentes. Sin embargo, cuando ambos espacios V 1 y V 2 son de dimensión infinita, son posibles topologías más débiles (más ásperas) : ${\ estilo de visualización L (V_ {1}, V_ {2})}$ ${\ estilo de visualización L (V_ {1}, V_ {2})}$

Topología de operador fuerte ; el nombre es engañoso, ya que es más débil (más áspera) que la topología estándar.
Topología de operador débil ; aún más débil (más áspera).

Literatura

Murphy J. C*-álgebras y teoría de operadores. M.: Factorial, 1997. 336s. ISBN 5-88688-016-X
Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .

Notas

↑ En el caso general, un elemento del campo ordenado , en el que la normalización sobre K toma valores .
↑ Problemas y teoremas de álgebra lineal, 1996 , p. 210.
↑ En ese caso , pero está completo. $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$