Secciones cónicas confocales

Secciones cónicas confocales : en geometría , secciones cónicas que tienen los mismos focos . Dado que las elipses y las hipérbolas tienen dos focos, hay elipses confocales e hipérbolas confocales , y una elipse y una hipérbola pueden ser confocales entre sí. En el caso de que una familia de elipses sea confocal a una familia de hipérbolas, cada elipse corta ortogonalmente a cada hipérbola. Las parábolas tienen un solo foco, por lo que se consideran confocales aquellas parábolas que tienen un foco común y el mismo eje de simetría. Por lo tanto, cualquier punto fuera del eje de simetría se encuentra en dos parábolas confocales que se cortan entre sí en ángulo recto.

El concepto de secciones cónicas confocales se puede generalizar al espacio tridimensional considerando cuádricas confocales .

Elipses confocales

Una elipse que no es un círculo está determinada únicamente por la posición de los focos y un punto fuera del eje mayor. Un haz de elipses confocales con focos se puede describir mediante la ecuación ${\ estilo de visualización F_ {1}, \; F_ {2}}$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c\ ,$

en el que el semieje mayor es un parámetro (la distancia focal está determinada únicamente por la ubicación de los focos). Dado que un punto en una elipse define de forma única el valor de , entonces $a$ $C$ $a$

no hay dos elipses en el lápiz que tengan puntos comunes.

Hipérbolas confocales

Una hipérbola está determinada únicamente por la posición de los focos y un punto fuera de los ejes de simetría. Un haz de hipérbolas confocales con focos se puede describir mediante la ecuación ${\ estilo de visualización F_ {1}, \; F_ {2}}$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{c^{2}-a^{2}}}=1\ , \quad 0<a<c\ ,$

en el que el semieje mayor es un parámetro (la distancia focal está determinada únicamente por la ubicación de los focos). Dado que un punto en una hipérbola define de manera única el valor de , entonces $a$ $C$ $a$

No hay dos hipérbolas en un lápiz que tengan puntos comunes.

Elipses e hipérbolas confocales

La ecuacion

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$

describe una elipse en y una hipérbola en . ${\ estilo de visualización c <a}$ ${\ estilo de visualización 0 <a <c}$

En la literatura, puede encontrar otra versión de la presentación:

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}=1\ ,$

donde son los semiejes de la elipse dada (entonces también se dan los focos) y es un parámetro de haz. Para , obtenemos elipses confocales (es decir ) y para , obtenemos hipérbolas confocales con focos . $a, b$ ${\ estilo de visualización F_ {1}, \; F_ {2}}$ $\lambda$
${\ estilo de visualización \ lambda <b^{2}}$ ${\displaystyle a^{2}-\lambda-(b^{2}-\lambda)=c^{2))$
$b^{2}<\lambda <a^{2}$ ${\ estilo de visualización F_ {1}, \; F_ {2}}$

La consideración de haces de elipses e hipérbolas confocales lleva a la siguiente conclusión sobre la tangente y la normal en un punto dado (la normal a la elipse y la tangente a la hipérbola bisecan el ángulo entre las direcciones desde el punto hasta los focos):

cada elipse en el paquete intersecta cada hipérbola en un ángulo recto (ver figura).

Así, es posible cubrir el plano con un sistema ortogonal de elipses e hipérbolas confocales. Dicha cuadrícula ortogonal se puede utilizar como base de un sistema de coordenadas elípticas .

Parábolas confocales

Las parábolas tienen un solo foco. Se puede considerar una parábola como el límite de un haz de elipses o hipérbolas confocales, en el que se fija un foco y el segundo se aleja hasta el infinito. Si se realiza una consideración similar para las elipses e hipérbolas confocales, se puede obtener un sistema de dos lápices de parábolas confocales.

La ecuación describe una parábola con el origen en el foco, siendo el eje x el eje de simetría. Considere dos paquetes de parábolas: $y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}$

$y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,$ parábolas, infinito a la derecha,

y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,

parábolas, infinito a la izquierda, El enfoque es compartido.

{\ estilo de visualización F = (0,0)}

De la ecuación de la parábola se sigue que

las parábolas que se extienden en una dirección no tienen puntos comunes.

Los cálculos muestran que

cualquier parábola que se extiende hacia la derecha interseca ortogonalmente a cada parábola que se extiende hacia la izquierda. Los puntos de intersección tienen coordenadas . $y^{2}=2px+p^{2}$ $y^{2}=-2qx+q^{2}$ ${\ estilo de visualización ({\ tfrac {qp} {2)), \ pm {\ sqrt {pq}}) \ }$

Los vectores ( son los vectores normales en los puntos de intersección. El producto escalar de estos vectores es igual a cero. ${\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}= \left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})$

Por analogía con las elipses e hipérbolas confocales, el plano se puede cubrir con una cuadrícula ortogonal de parábolas.

Teorema de Graves sobre la construcción de elipses confocales

En 1850, el obispo irlandés Charles Graves probó y publicó el siguiente método para construir elipses confocales utilizando un hilo: [1]

si rodeamos una elipse dada E con un anillo de un hilo que es más largo que el contorno de una elipse dada, dibujamos una nueva elipse usando las "agujas" fijadas en focos (ver la construcción de una elipse ), mientras que la nueva elipse será confocal con E. La demostración de este enunciado requiere el uso de integrales elípticas . Otto Staude generalizó este método para construir elipsoides confocales.

Si la elipse E es un segmento , entonces las elipses confocales tendrán focos . $F_{1}F_{2}$ ${\ estilo de visualización F_ {1}, F_ {2}}$

Superficies confocales de segundo orden

El concepto de superficies confocales de segundo orden es una generalización formal del concepto de secciones cónicas confocales al espacio tridimensional.

Elegimos tres números reales bajo la condición . La ecuacion ${\ estilo de visualización a, b, c}$ ${\ estilo de visualización a> b> c> 0}$

${\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda}}=1$ describe

elipsoide en,

{\ estilo de visualización \ lambda <c^{2}}

hiperboloide de una hoja en (superficie azul en la figura),

{\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2))

hiperboloide de dos hojas en .

b^{2}<\lambda <a^{2}

Cuando no hay soluciones

a^{2}<\lambda

(En este contexto, el parámetro no es la distancia focal del elipsoide). $C$

De forma similar al caso de las elipses/hipérbolas confocales, tenemos las siguientes propiedades:

cualquier punto se encuentra en una sola superficie de cada uno de los tres tipos de cuádricas confocales; ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\en \mathbb {R} ^{3))$ $x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0$

tres superficies de segundo orden que pasan por un punto se cortan ortogonalmente

{\ estilo de visualización (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}

Prueba de la existencia y unicidad de tres cuádricas que pasan por un punto dado: para un punto en , considere la función $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0$

f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^ {2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1

Esta función tiene tres asíntotas verticales y es continua y monótonamente creciente en todos los intervalos . Un análisis del comportamiento de la función cerca de las asíntotas verticales y en lleva a la conclusión de que tiene tres raíces en ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2))$ $(-\infty,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;( a^{2},\infty)$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ a \ pm \ infty}$ $F$ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, \ lambda _ {3}}$ ${\color {rojo}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {rojo}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {rojo}\ lambda _{3}}<a^{2}\ .$

Prueba de ortogonalidad de superficies: considere haces de funciones con parámetro . Las cuádricas confocales se pueden describir mediante la relación . Para cualesquiera dos cuádricas que se intersecan en un punto común , la igualdad $F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b ^{2}-\lambda }}+{\frac{z^{2}}{c^{2}-\lambda }}$ $\lambda$ $F_{\lambda}(x,y,z)=1$ $F_{\lambda_{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda_{k}}(x,y,z)=1$ $(x, y, z)$

0=F_{\lambda_{i}}(x,y,z)-F_{\lambda_{k}}(x,y,z)=\dotsb =(\lambda_{i}- \lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda_{i})(a^{2}-\lambda_{k})} }+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k)))))+{\frac {z ^ {2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\derecha)\ .

Por lo tanto, el producto escalar de gradientes en un punto común

\operatorname {graduado} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {graduado} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}} {(a^{2}-\lambda_{i})(a^{2}-\lambda_{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}- \lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})( c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,

lo que prueba la ortogonalidad.

Aplicaciones.
Por el teorema de Ch. Dupin sobre sistemas ortogonales de superficies, las siguientes afirmaciones son verdaderas:

la línea de intersección de cualesquiera dos superficies confocales de segundo orden es la línea de curvatura ;
por analogía con las coordenadas elípticas , se pueden introducir coordenadas elipsoidales .

En física, los elipsoides confocales son superficies equipotenciales:

las superficies equipotenciales de un elipsoide cargado son confocales al elipsoide dado. [2]

Teorema de Ivory

El teorema de Ivory , llamado así por el matemático escocés James Ivory (1765–1842), es un enunciado sobre las diagonales de un cuadrilátero formado por curvas ortogonales.

En cualquier cuadrilátero formado por dos elipses confocales y dos hipérbolas confocales con los mismos focos, las diagonales tienen la misma longitud.

Puntos de intersección de una elipse y una hipérbola confocal
Sea una elipse con focos dados por la ecuación $mi(a)$ $F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)$

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad a>c>0,\

a es una hipérbola confocal con la ecuación ${\ estilo de visualización H (u)}$

{\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ , \quad c>u\ .

Calcula los puntos de intersección y da las coordenadas de los cuatro puntos $mi(a)$ ${\ estilo de visualización H (u)}$

$\left(\pm {\frac {au}{c)),\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}- u^{2})}}{c}}\derecha).$

Diagonales de un cuadrilátero
Para simplificar los cálculos, supongamos que

$c=1$ , lo que no es una limitación importante, ya que es posible el escalado;
al elegir un letrero (ver sección sobre puntos de intersección), consideraremos solo . Es fácil demostrar que elegir un signo diferente conducirá al mismo resultado. $\pm$ $+$

Sean elipses confocales y sean hipérbolas confocales con los mismos focos. Diagonales de un cuadrilátero formado por puntos de intersección con coordenadas $E(a_{1}),E(a_{2})$ ${\ estilo de visualización H (u_ {1}), H (u_ {2})}$

P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2 }^{2})}}\derecha)\ ,

P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2}) }}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1 }^{2})}}\derecho)

tener longitudes

{\begin{alineado}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\ izquierda({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)( 1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^ {2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\raíz cuadrada {(a_{1}^{2 }-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{alineado} }

La última expresión es invariante con respecto al reemplazo . Tal reemplazo conduce a una expresión para la longitud . Por lo tanto, la igualdad $u_{1}\leftrightarrow u_{2}$ $|P_{1\color {rojo}2}P_{2\color {rojo}1}|^{2}$

$|P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|$

La prueba de la afirmación para parábolas confocales es un cálculo simple.

Ivory también demostró un teorema para el caso tridimensional:

en un paralelepípedo rectangular tridimensional formado por cuádricas confocales, las diagonales que conectan puntos opuestos tienen la misma longitud.

Notas

↑ Felix Klein: Vorlesungen über Höhere Geometrie , Sringer-Verlag, Berlín, 1926, S.32.
↑ D. Fuchs, S. Tabachnikov: Ein Schaubild der Mathematik. Springer-Verlag, Berlín/Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-12959-9 , pág. 480.

Literatura

W. Blaschke : Analytische Geometrie. Springer, Basilea 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , pág. 111.
G. Glaeser, H. Stachel, B. Odehnal: El universo de las cónicas: de los antiguos griegos a los desarrollos del siglo XXI , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , p. 457.
David Hilbert y Stephan Cohn-Vossen (1999), Geometría e imaginación , Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 0-8218-1998-4
Ernesto Pascal: Repertorium der höheren Mathematik. Teubner, Leipzig/Berlín 1910, pág. 257.
A. Robson: Introducción a la geometría analítica Vo. I, Cambridge, University Press, 1940, pág. 157.
DMY Sommerville: Geometría analítica de tres dimensiones , Cambridge, University Press, 1959, p. 235.

Enlaces

T. Hofmann: Miniscript Differentialgeometrie I, p. 48
B. Springborn: Kurven und Flächen , 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
H. Walser: Konforme Abbildungen. pags. ocho.