Densidad espectral

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de junio de 2016; las comprobaciones requieren 3 ediciones .

En ingeniería de radio estadística y física, cuando se estudian señales deterministas y procesos aleatorios , se usa ampliamente su representación espectral en forma de densidad espectral, que se basa en la transformada de Fourier .

Si el proceso tiene una energía finita y es integrable al cuadrado (y este es un proceso no estacionario), entonces para una implementación del proceso, la transformada de Fourier se puede definir como una función compleja aleatoria de frecuencia: $x(t)$

X(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}dt.

(una)

Sin embargo, resulta casi inútil para describir el conjunto. La salida a esta situación es descartar algunos parámetros del espectro, a saber, el espectro de fases, y construir una función que caracterice la distribución de la energía del proceso a lo largo del eje de frecuencia. Entonces, según el teorema de Parseval , la energía

E_{x}=\int \limits_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}dt=\int \limits_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^{2}df.

(2)

Por lo tanto, la función caracteriza la distribución de la energía de realización a lo largo del eje de frecuencia y se denomina densidad espectral de realización. Promediando esta función sobre todas las realizaciones, se puede obtener la densidad espectral del proceso. ${\displaystyle S_{x}(f)=|X(f)|^{2))$

Pasemos ahora a un proceso estocástico centrado ampliamente estacionario , cuyas realizaciones tienen energía infinita con probabilidad 1 y, por lo tanto, no tienen transformada de Fourier. La densidad espectral de potencia de dicho proceso se puede encontrar en base al teorema de Wiener-Khinchin como la transformada de Fourier de la función de correlación: $x(t)$

S_{x}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }k_{x}(\tau )e^{-i2\pi f\tau }d\tau .

(3)

Si hay una transformación directa, entonces también hay una transformada inversa de Fourier , que determina a partir de lo conocido : ${\ estilo de visualización S_ {x} (f)}$ ${\ Displaystyle k_ {x} (\ tau)}$

k_{x}(\tau )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }S_{x}(f)e^{i2\pi f\tau }df.

(cuatro)

Si asumimos en las fórmulas (3) y (4) y , respectivamente , tenemos $f=0$ $\tau=0$

S_{x}(0)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}k_{x}(\tau)d\tau,

(5)

\sigma _{x}^{2}=k_{x}(0)=\int \limits_{-\infty}^{\infty}S_{x}(f)df.

(6)

La fórmula (6), teniendo en cuenta (2), muestra que la dispersión determina la energía total de un proceso aleatorio estacionario, que es igual al área bajo la curva de densidad espectral. El valor dimensional se puede interpretar como la fracción de energía concentrada en un pequeño rango de frecuencia de a . Si entendemos por corriente o voltaje aleatorio (fluctuación), entonces el valor tendrá la dimensión de energía [V 2 / Hz] = [V 2 s]. Por lo tanto, a veces se le llama espectro de energía . En la literatura, es frecuente encontrar otra interpretación: - se considera como la potencia media liberada por la corriente o tensión a una resistencia de 1 ohm. En este caso, el valor se denomina espectro de potencia de un proceso aleatorio. ${\ Displaystyle S_ {x} (f) df}$ $fdf/2$ ${\ estilo de visualización f + df/2}$ $x(t)$ ${\ estilo de visualización S_ {x} (f)}$ ${\ estilo de visualización S_ {x} (f)}$ $\sigma _{x}^{2}$ ${\ estilo de visualización S_ {x} (f)}$

Propiedades de densidad espectral

El espectro de energía de un proceso estacionario (real o complejo) es un valor no negativo:

S_{x}(f)\geq 0

(7)

El espectro de energía de un estacionario real en el sentido amplio de un proceso aleatorio es una función real y uniforme de la frecuencia:

{\ estilo de visualización S_ {x} (-f) = S_ {x} (f)}

(ocho)

La función de correlación y el espectro de energía de un proceso aleatorio ampliamente estacionario tienen todas las propiedades características de un par de transformadas mutuas de Fourier . En particular, cuanto más "amplio" es el espectro , más "estrecha" es la función de correlación , y viceversa. Este resultado se cuantifica como un principio o relación de incertidumbre. ${\ Displaystyle k_ {x} (\ tau)}$ ${\ estilo de visualización S_ {x} (f)}$ ${\ estilo de visualización S_ {x} (f)}$ ${\ Displaystyle k_ {x} (\ tau)}$

Véase también

Literatura

Zyuko, A. G. , Klovsky, D. D. , Nazarov, M. V. , Fink, L. M. Teoría de la transmisión de señales. - M. : Comunicación, 1980. - 288 p.
Tikhonov, V. I. , Kharisov, V. N. Análisis estadístico y síntesis de dispositivos y sistemas de ingeniería de radio. - M. : Radio y comunicación, 2004. - 608 p. - ISBN 5-256-01701-2 .
Tikhonov, V. I. , Bakaev, Yu. N. Teoría estadística de los dispositivos de ingeniería de radio. - M. : VVIA im. profe. N. E. Zhukovsky , 1978. - 420 p.