Teorema de parseval

El teorema de Parseval se suele entender como la unitaridad de la transformada de Fourier . Es decir, la suma (o integral) del cuadrado de la función es igual a la suma (o integral) del cuadrado del resultado de la transformación. Cabe señalar que la forma general del teorema de Parseval a menudo se denomina teorema de Plancherel o fórmula de Rayleigh generalizada . El teorema fue probado para series por Marc-Antoine Parseval en 1799 y luego fue aplicado a las series de Fourier .

El teorema tiene la forma

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal { F}}\{x(t)\}|^{2}dw,

donde denota una transformada continua de Fourier que relaciona una señal temporal o espacial con su representación en el dominio de la frecuencia . $\mathcal{F}\{\cdot\}$ $x(t)$ $X(f)$

Una formulación más general y precisa del teorema de Parseval en la teoría de la integral de Fourier se ve así. Sean las funciones y pertenecen al espacio de funciones integrables al cuadrado y sean y sus transformadas de Fourier, respectivamente. Entonces: [1] ${\ estilo de visualización f_ {1} (x)}$ ${\ estilo de visualización f_ {2} (x)}$ ${\ estilo de visualización L^{2}}$ ${\ Displaystyle g_ {1} (u)}$ ${\ Displaystyle g_ {2} (u)}$

\int_{-\infty}^{\infty}g_{1}(u)g_{2}(u)du=\int_{-\infty}^{\infty}f_{1}( x)f_{2}(-x)dx

En forma discreta, el teorema se escribe de la siguiente manera:

\sum_{i=0}^{N-1} | x(i) |^2 = {1\sobre N} \sum_{k=0}^{N-1} | X(k) |^2

donde es la transformada discreta de Fourier de una señal que tiene muestras. $X(k)$ $x(k)$ $norte$

El teorema de Parseval establece la igualdad entre la energía de una señal y la energía de su espectro.

Ejemplo de código de MATLAB que demuestra el teorema de Parseval

norte = 100 ; % número de muestras x = randn ( 1 , N ); % distribución normal Et = norma ( x ) ^ 2 ; % más o menos: Et = sum(x.^2); fprintf ( 'Energía de la señal en el dominio del tiempo:%f \n' , Et ); X = fftn ( x ); Ew = 1 / N * norma ( X ) ^ 2 ; % más o menos: Ew = 1/N * sum(abs(X).^2); fprintf ( 'Energía de la señal en el dominio de la frecuencia:%f \n' , Ew ); xnuevo = ifftn ( X ); Etn = norma ( xnuevo ) ^ 2 ; % o así: Etn = sum(xnew.^2); fprintf ( 'Energía de la señal en el dominio del tiempo:%f \n' , Etn ); El resultado del programa ------------------------------ Energía de la señal en el dominio del tiempo : 94,236108 Energía de la señal en el dominio de la frecuencia : 94,236108 Energía de la señal en el dominio del tiempo : 94,236108

Notas

↑ N. Wiener Fourier transformada en el dominio complejo. - M., Nauka, 1964. - pág. once

Literatura

Baskakov, S. I. Circuitos y señales de ingeniería de radio. - 3ra ed. - M. : "Escuela Superior", 2000. - 462 p. — ISBN 5-06-003843-2 .
Gonorovsky, I. S. Circuitos y señales de ingeniería de radio. - 4ª ed. - M. : "Radio y comunicación", 1986. - 512 p.

Teorema de parseval

Notas

Literatura

Véase también