Grados de libertad (teoría de la probabilidad)

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El número de grados de libertad es el número de valores en el cálculo estadístico final que pueden variar. En otras palabras, el número de grados de libertad muestra la dimensión del vector de variables aleatorias, el número de variables "libres" necesarias para definir completamente el vector.

El número de grados de libertad puede ser no solo un número natural , sino también cualquier número real , aunque las tablas estándar calculan el valor p de las distribuciones más comunes solo para un número natural de grados de libertad.

Grados de libertad de las distribuciones

Chi-cuadrado

Si las variables aleatorias son independientes y todas tienen una distribución normal estándar ( ), entonces se dice que la variable aleatoria , que es la suma de los cuadrados de las variables normales estándar en el número de piezas, tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad ( ): $Z_{1};\ldots;Z_{n}$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $norte$ $norte$ $\chi _{n}^{2}$

$X=\sum \limits _{{i=1}}^{n}Z_{i}^{2}\sim \chi _{n}^{2}$

Distribución t de Student

Si la variable aleatoria tiene una distribución normal estándar ( ), la variable aleatoria tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad ( ) y son independientes (su correlación es cero), entonces la variable aleatoria tiene una distribución de Student con grados de libertad ( ): $Z$ $Z\sim {\mathcal {N}}(0;1)$ $X$ $norte$ $\chi _{n}^{2}$ $Z$ $X$ $T={\frac {Z}{{\sqrt {{\frac {X}{n}}}}}}$ $norte$ $Tennesse}$

$T={\frac {{\mathcal {N}}(0;1)}{{\sqrt {{\frac {\chi _{n}^{2}}{n}}}}}}\sim t_ {norte}$

Distribución Fisher-Snedecor

Si una variable aleatoria tiene una distribución de chi-cuadrado con grados de libertad, y una variable aleatoria tiene una distribución de chi-cuadrado con grados de libertad, entonces la variable aleatoria tiene una distribución de Fisher-Snedekor con y grados de libertad ( ): $X_{1}$ $norte$ $X_{2}$ $metro$ $F={\frac{X_{1}/n}{X_{2}/m}}$ $norte$ $metro$ $Tennesse}$

$F={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m))\sim {\mathrm {F))_{{n;m} }$

Si , entonces . $m\rightarrow\infty$ $F_{{n;m}}={\frac {\chi _{n}^{2}/n}{\chi _{m}^{2}/m}}\rightarrow \chi _{n}^ {2}$
Si elevamos al cuadrado una variable aleatoria que tiene una distribución de Student con grados de libertad, entonces tendrá una distribución de Fisher-Snedekor con y grados de libertad: $metro$ $una$ $metro$

$(t_{m})^{2}=\left({\frac {{\mathcal {N))(0;1)}{{\sqrt ({\frac {\chi _{m}^{2} {m))))))\right)^{2}={\frac ({\bigl (}{\mathcal {N))(0;1){\bigr)}^{2)){\ izquierda({\sqrt {{\frac {\chi _{m}^{2}}{m))))\derecha)^{2}}}={\frac {\chi _{1}^{2 }}{\chi _{m}^{2}/m}}={\frac {\chi _{1}^{2}/1}{\chi _{m}^{2}/m}} \sim {\matemáticas {F}}_{{1;m}}$

Teoría de la probabilidad

Sea una variable aleatoria unidimensional . Entonces las siguientes afirmaciones sobre el número de grados de libertad serán verdaderas : $X_{yo}$

Una variable aleatoria se distribuye de acuerdo con la ley con grados de libertad (en este caso, a menudo por medio de la varianza muestral ). $S^{2}={\frac {\sum \limits _{i}(X_{i}-{\bar X})^{2}}{n-1}}$ $\chi^{2}$ $(n-1)$ $S^{2}$ ${\sombrero\sigma}^{2}$
Con base en la notación anterior, se puede argumentar que la variable aleatoria tiene una distribución de Student con grados de libertad ( ) . ${\frac {X-{\bar X}}{{\sqrt {{\frac {S^{2}}{n}}}}}}$ $n-1$ ${\ Displaystyle t_ {n-1}}$
La variable aleatoria se distribuye de acuerdo a la ley con grados de libertad. ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {{\hat \sigma}^{2}}{n}}}}}}$ $\chi^{2}$ $norte$
La variable aleatoria se distribuye de acuerdo con la ley normal estándar ( ), donde es la varianza verdadera de la variable aleatoria . ${\frac {X-{\mathbb {E}}(X)}{{\sqrt {{\frac {\sigma _{X}^{2}}{n}}}}}}$ ${\mathcal {N}}(0;1)$ $\sigma _{X}^{2}$ $X$

Reemplazar una variable aleatoria con su verdadera expectativa matemática da un aumento de un grado de libertad por la siguiente razón. Considere una variable aleatoria . A continuación, . Por lo tanto, hay piezas de variables aleatorias dependientes. Por lo tanto, las piezas de cantidades son independientes, por lo tanto, en la fórmula con el numerador, hay un grado de libertad menos que en la fórmula con la esperanza matemática verdadera. ${\bar X}(X_{1};\ldots;X_{n})$ $\xi _{k}=X_{k}-{\bar X}$ $\sum \limits _{{i=1}}^{n}\xi _{i}=\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}-{\bar X} )=\sum \limits_{{i=1}}^{n}X_{i}-\sum \limits_{{i=1}}^{n}{\bar X}=n{\bar X }-n{\bar X}=0$ $norte$ $n-1$ $\bar X$

Análisis de regresión

En el análisis de regresión , utilizando el método de mínimos cuadrados , las observaciones se comparan con los valores calculados (obtenidos de la ecuación de regresión). Si es el promedio aritmético de todas las observaciones, entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras multivariado, la igualdad tiene lugar: $Y_{yo}$ ${\ que Y}_{i}$ ${\bar Y}$

$\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{TSS}}=\underbrace {\sum \limits _{i}({\hat Y}_{i}-{\bar Y})^{2}}_{{ESS}}+\underbrace {\sum \limits _{i}(Y_{i}-{\hat Y})^{ 2}}_{{RSS}}$

Al mismo tiempo (Suma Total de Cuadrados) se distribuye como con grados de libertad, (Suma Estimada de Cuadrados; ¡no debe confundirse con Error!) se distribuye como con un grado de libertad, (Suma Residual de Cuadrados; no debe ser ¡confundido con Regresión!) se distribuye como con grados de libertad. $TSS$ $\chi^{2}$ $(n-1)$ $ESS$ $\chi^{2}$ $RSS$ $\chi^{2}$ $(n-2)$