Función definida por partes

Una función por partes es una función de una variable, definida en el conjunto de números reales , que se especifica mediante una fórmula separada (u otra forma de especificar la función) en cada uno de los intervalos que forman el dominio de su definición.

Una función afín por partes es una función numérica de una variable tal que todo su dominio de definición se puede "dividir" en intervalos para que la función sea afín en el interior de cada uno de los intervalos.

Definición formal y asignación

Sean dados los puntos de cambio de la asignación de función. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Las funciones especificadas por partes generalmente se especifican en cada uno de los intervalos por separado. Formalmente, esto se escribe como: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$

$f(x)={\begin{casos}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2} \\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{casos}}$ .

En algunos de los intervalos o en algunos puntos, en el caso general, una función dada por partes puede no estar definida.

Tipos de funciones por partes

Si todas las funciones son constantes, entonces es una función constante por tramos. $f(x)$
Si todas las funciones son funciones lineales , entonces es una función lineal por partes . $arreglar)$ $f(x)$
Si todas las funciones son funciones continuas , entonces es una función continua por tramos . Sin embargo, puede que no sea continuo en sí mismo. $arreglar)$ $f(x)$
Si todas las funciones son funciones diferenciables , entonces es una función suave por partes . En este caso, los puntos de cambio de funciones pueden ser o no puntos de quiebre. $arreglar)$ $f(x)$
Si todas las funciones son funciones monótonas , entonces es una función monótona por partes . Al mismo tiempo, en intervalos adyacentes, el signo de la primera derivada puede ser diferente, es decir, funciones crecientes o decrecientes. $arreglar)$ $f(x)$

Ejemplos de funciones por partes comúnmente utilizadas

Valor absoluto (módulo) . $y=|x|$
función de signo . $y=\operatorname {sgn}(x)$
Función Heaviside $\theta (x)={\begin{casos}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{casos}}$
Función lineal por partes .
Spline _
B-spline .