La suma de tres cubos.

La suma de tres cubos es un problema abierto  en matemáticas sobre la representabilidad de un número entero como la suma de tres cubos de números enteros (positivos o negativos).

La correspondiente ecuación diofántica se escribe como Condición necesaria para la representabilidad de un número como la suma de tres cubos: al dividirlo por 9, no deja resto 4 o 5.

En variantes del problema, el número debe ser representado por la suma de cubos de solo números no negativos o racionales . Cualquier número entero se puede representar como una suma de cubos racionales, pero no se sabe si las sumas de cubos no negativos forman un conjunto con densidad asintótica distinta de cero .

Historia

La cuestión de representar un número entero arbitrario como una suma de tres cubos existe desde hace unos 200 años, la primera solución paramétrica conocida en números racionales fue dada por S. Riley en 1825. Las soluciones paramétricas en números enteros se encuentran para  - en 1908 por A. S. Verebryusov [1] (un profesor de matemáticas en el gimnasio masculino Feodosiya , hijo de S. I. Verebryusov ), para  - en 1936 por Mahler [2] .

Decisiones

Una condición necesaria para la representabilidad de un número como la suma de tres cubos: cuando se divide por 9, no da un resto de 4 o 5; ya que el cubo de cualquier número entero cuando se divide por 9 da un resto de 0, 1 u 8, entonces la suma de tres cubos cuando se divide por 9 no puede dar un resto de 4 o 5 [3] . No se sabe si esta condición es suficiente.

En 1992, Roger Heath-Brown sugirió que cualquiera que no dé un resto de 4 o 5 cuando se divide por 9 tiene infinitas representaciones como sumas de tres cubos [4] .

Sin embargo, no se sabe si la representación de los números como suma de tres cubos es algorítmicamente decidible, es decir, si el algoritmo puede comprobar la existencia de una solución para cualquier número dado en un tiempo finito. Si la hipótesis de Heath-Brown es verdadera, entonces el problema es solucionable y el algoritmo puede resolver el problema correctamente. El estudio de Heath-Brown también incluye conjeturas más precisas sobre qué tan lejos tendría que buscar un algoritmo para encontrar una representación explícita, en lugar de simplemente determinar si existe [4] .

El caso , cuya representación como una suma de cubos no se conocía durante mucho tiempo, es utilizado por Bjorn Punen como ejemplo introductorio en un estudio de problemas indecidibles en teoría de números , de los cuales el décimo problema de Hilbert es el ejemplo más famoso [5] .

Números pequeños

Porque solo hay soluciones triviales

Una representación no trivial de 0 como la suma de tres cubos daría un contraejemplo al último teorema de Fermat para el grado 3 [6] demostrado por Leonhard Euler : dado que uno de los tres cubos tendrá el signo opuesto a los otros dos números, por lo tanto su negación es igual a la suma de estos dos.

Para y hay un número infinito de familias de soluciones, por ejemplo (1 - Mahler, 1936, 2 - Verebryusov, 1908):

Hay otras representaciones y otras familias parametrizadas de representaciones para 1 [7] . Para 2 otras representaciones conocidas son [7] [8]

Estas igualdades se pueden usar para descomponer cualquier cubo o cubo doble en una suma de tres cubos [1] [9] .

Sin embargo, 1 y 2 son los únicos números con representaciones que pueden ser parametrizadas por polinomios de cuarto grado [10] . Incluso en el caso de las representaciones, Louis J. Mordell escribió en 1953: "No sé nada" más que pequeñas decisiones.

y también que los tres cubos deben ser iguales a 1 módulo 9 [11] [12] . El 17 de septiembre de 2019, Andrew Booker y Andrew Sutherland, quienes encontraron una representación para los casos difíciles 33 y 42 (ver más abajo), publicaron otra representación 3, que tardó 4 millones de horas en encontrar en la red Charity Engine [13] [14] :

Otros números

Desde 1955, siguiendo a Mordell, muchos investigadores han estado buscando soluciones usando una computadora [15] [16] [8] [17] [18] [19] [20] [2] [21] [22] .

En 1954, Miller y Woollett encuentran representaciones para 69 números del 1 al 100. En 1963, Gardiner, Lazarus, Stein exploran el intervalo del 1 al 999, encuentran representaciones para muchos números, excepto para 70 números, de los cuales 8 valores son menores que 100. En 1992, Heath-Brown y otros encontraron una solución para 39. En 1994, Koyama, usando computadoras modernas, encuentra soluciones para 16 números más del 100 al 1000. En 1994, Conn y Waserstein - 84 y 960. En 1995, Bremner - 75 y 600, Lux - 110, 435, 478. En 1997, Koyama et al. - 5 números nuevos del 100 al 1000. En 1999, Elkis - 30 y 10 más números nuevos del 100 al 1000 En 2007, Beck et al.- 52, 195, 588 [2] . En 2016 Huisman - 74, 606, 830, 966 [22] .

Elsenhans y Jahnel en 2009 [21] usaron el método de Elkis [20] , que usa la reducción de la base de celosía para encontrar todas las soluciones de la ecuación diofántica para positivo no más de 1000 y para [21] , luego Huisman en 2016 [22] amplió el buscar a .

En la primavera de 2019, Andrew Booker (Universidad de Bristol) desarrolló una estrategia de búsqueda diferente con un tiempo de cálculo proporcional en lugar de su máximo, y encontró una representación de 33 y 795 [23] [24] [25] :

En septiembre de 2019, Booker y Andrew Sutherland cerraron el intervalo a 100 al encontrar una representación de 42, para lo cual se gastaron 1,3 millones de horas de cálculo en Charity Engine [26] :

Posteriormente, en el mismo mes, encontraron una descomposición del número 906 [27] :

Y luego 165 [28] :

Para 2019, se encontraron representaciones de todos los números hasta 100 que no son iguales a 4 o 5 módulo 9. Se desconocen las representaciones de 7 números del 100 al 1000: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975 [26] .

El caso más pequeño sin resolver es [26] .

Opciones

Existe una variante del problema en la que el número debe representarse como la suma de tres cubos de enteros no negativos, este problema está relacionado con el problema de Waring . En el siglo XIX , Carl Gustav Jacob Jacobi y sus colegas compilaron tablas de soluciones a este problema [29] . Se supone, pero no se prueba, que los números representables tienen una densidad asintótica positiva [30] [31] , aunque Trevor Wooley ha demostrado que es posible representar números en el rango de a [32] [33] [34] en de esta manera Densidad no más de [3] .

Otra opción es con números racionales. Se sabe que cualquier número entero puede representarse como la suma de tres cubos de números racionales [35] [36] .

Véase también

Notas

  1. ↑ 1 2 A. S. Verebryusov (1908), Sobre la ecuación x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3 , Colección matemática T. 26 (4): 622–624 , < http://mi.mathnet.ru /msb6615 > 
  2. ↑ 1 2 3 Beck, Michael; Pino, Eric; Tarrant, Wayne & Yarbrough Jensen, Kim (2007), Nuevas representaciones de enteros como la suma de tres cubos , Matemáticas de computación Vol . 76 (259): 1683–1690 , DOI 10.1090/S0025-5718-07-01947-3 
  3. ↑ 1 2 Davenport, H. (1939), Sobre el problema de Waring para cubos , Acta Mathematica T. 71: 123–143 , DOI 10.1007/BF02547752 
  4. ↑ 1 2 Heath-Brown, DR (1992), La densidad de ceros de las formas en las que falla la aproximación débil , Matemáticas de computación Vol. 59 (200): 613–623 , DOI 10.2307/2153078 
  5. ↑ Poonen, Bjorn (2008), Indecidibilidad en la teoría de los números , Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense, volumen 55 (3): 344–350 , < https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf > 
  6. ↑ Machis, Yu. Yu. (2007), Sobre la prueba hipotética de Euler , Mathematical Notes vol.82 (3): 352–356 , DOI 10.1134/S0001434607090088 
  7. ↑ 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), Un nuevo método en el problema de los tres cubos , DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301 
  8. ↑ 1 2 Heath-Brown, DR ; Lioen, WM y te Riele, HJJ (1993), Sobre la solución de la ecuación diofántica en una computadora vectorial , Matemáticas de computación Vol. 61 (203): 235–244, doi : 10.2307/2152950 , ​​< https://ir.cwi .nl/pub/5502 > 
  9. ↑ Mahler, Kurt (1936), Nota sobre la hipótesis K de Hardy y Littlewood , Journal of the London Mathematical Society, volumen 11(2): 136–138 , DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136 
  10. ↑ Mordell, LJ (1942), On sums of three cubes , Journal of the London Mathematical Society , Second Series vol.17 (3): 139–144 , DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139 
  11. ↑ Mordell, LJ (1953), Sobre las soluciones enteras de la ecuación , Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie Vol. 28: 500–510 , DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500 
  12. ↑ La igualdad mod 9 de números cuyos cubos suman 3 fue acreditada a JWS Cassels por Mordell (1953 ), pero su demostración no se publicó hasta Cassels, JWS (1985), A note on the Diophantine ecuation , Mathematics of Computation Vol . 44 (169): 265–266 , DOI 10.2307/2007811  .
  13. ↑ Lu, Donna Los matemáticos encuentran una forma completamente nueva de escribir el número 3 . Nuevo científico (18 de septiembre de 2019). Recuperado: 11 Octubre 2019.
  14. ↑ markmcan. Increíblemente enorme suma de tres cubos para 3 descubiertos, después de 66 años de búsqueda . [tuit] . Twitter (17 de septiembre de 2019) .
  15. ↑ Miller, JCP & Woollett, MFC (1955), Soluciones de la ecuación diofántica , Journal of the London Mathematical Society , Segunda serie, volumen 30: 101–110 , DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101 
  16. ↑ Gardiner, VL; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Soluciones de la ecuación diofántica , Matemáticas de Computación Vol. 18 (87): 408–413 , DOI 10.2307/2003763 
  17. ↑ Conn, W. & Vaserstein, LN (1994), Sobre sumas de tres cubos integrales , El legado de Rademacher a las matemáticas (University Park, PA, 1992) , vol. 166, Matemáticas Contemporáneas, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, p. 285–294 , DOI 10.1090/conm/166/01628 
  18. ↑ Bremner, Andrew (1995), Sobre sumas de tres cubos, Teoría de números (Halifax, NS, 1994) , vol. 15, Actas de la conferencia CMS, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, p. 87–91 
  19. ↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio & Sekigawa, Hiroshi (1997), Sobre la búsqueda de soluciones de la ecuación diofántica , Matemáticas de computación Vol. 66 (218): 841–851 , DOI 10.1090/S0025-5718-97-00830-2 
  20. ↑ 1 2 Elkies, Noam D. (2000), Puntos racionales cerca de curvas y pequeños distintos de cero a través de reducción de celosía , Teoría de números algorítmicos (Leiden, 2000) , vol. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlín, p. 33–63 , DOI 10.1007/10722028_2 
  21. ↑ 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), Nuevas sumas de tres cubos , Matemáticas de computación vol . 
  22. ↑ 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Nuevas sumas de tres cubos 
  23. ↑ Kalai, Gil (9 de marzo de 2019), Combinatoria y más , > 
  24. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Solucionar el problema con 33 , Universidad de Bristol , < https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf > 
  25. ↑ Booker, Andrew R. (2019), Resolviendo el problema con 33 , Research in Number Theory , vol. 5:26 a. m., Springer , DOI 10.1007/s40993-019-0162-1 
  26. ↑ 1 2 3 Houston, Robin 42 es la respuesta a la pregunta '¿qué es (-80538738812075974) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 ?' . El Aperiódico (6 de septiembre de 2019). Fecha de acceso: 4 de enero de 2021.
  27. ↑ Página web personal de Andrew V. Sutherland . Recuperado: 20 de septiembre de 2019.
  28. ↑ Página web personal de Andrew V. Sutherland . Consultado: 30 de septiembre de 2019.
  29. ↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), Historia de la teoría de los números, vol. II: Análisis diofántico , Institución Carnegie de Washington, p. 717 , < https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716 > 
  30. ↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Sumas de tres cubos en tres tres progresiones vinculadas , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 1995 (466): 45–85 , DOI 10.1515/crll.1995.466.45 
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  33. ↑ Wooley, Trevor D. (2000), Sumas de tres cubos , Mathematika T. 47 (1–2): 53–61 (2002) , DOI 10.1112/S0025579300015710 
  34. ↑ Wooley, Trevor D. (2015), Sumas de tres cubos, II , Acta Arithmetica Vol. 170 (1): 73–100 , DOI 10.4064/aa170-1-6 
  35. ↑ Richmond, H.W. (1923), Sobre los análogos del problema de Waring para números racionales , Actas de la London Mathematical Society , Segunda serie, volumen 21: 401–409 , DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401 
  36. ↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), Sobre la representación de enteros positivos como sumas de tres cubos de números racionales positivos, Teoría y análisis de números (Documentos en honor a Edmund Landau) , Nueva York: Plenum, p. 49–53 

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