Esfericidad

La esfericidad es una medida cuantitativa de cuán esférico (redondo) es un objeto.

Definida por H. Wadell en 1935 [1] , la esfericidad de una partícula es la relación entre el área superficial de una esfera (del mismo volumen que la partícula dada) y el área superficial de la partícula: ${\ estilo de visualización \ psi}$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}},

donde es igual al volumen de la partícula y es igual al área superficial de la partícula. La esfericidad de una esfera es igual a uno por definición, y debido a la desigualdad isoperimétrica, la esfericidad de cualquier otro cuerpo es menor que uno. $V_{p}$ $A_{p}$

Derivación de la fórmula

Hakon Wadell definió la esfericidad como la relación entre el área superficial de una esfera igual en volumen a una partícula dada y el área superficial de una partícula dada. Considere primero una partícula esférica cuya superficie y su volumen es igual al volumen de la partícula en estudio. $Como$ $V_{p}$

Expresamos el área superficial de esta partícula en términos de su volumen : $Como$ $V_{p}$

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\ pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{ 2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2} =36\,\pi V_{p}^{2}.

Como consecuencia,

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3} }\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1 {3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2 {3}}.

Entonces la expresión de esfericidad para una partícula arbitraria con área de superficie y volumen toma la forma $\psi$ $A_{p}$ $V_{p}$

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right) ^{\frac{2}{3}}}{A_{p}}}.

Ejemplos

Objetos elipsoidales

La esfericidad de un esferoide achatado es ${\ estilo de visualización \ psi}$

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={ \frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}} }\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2)))){b}}\right)}}},

donde a y b son iguales a los semiejes mayor y menor del esferoide.

Esfericidad de algunos objetos

Nombre	Volumen	Área de superficie	Esfericidad
Sólidos platónicos
tetraedro	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\ estilo de visualización {\ sqrt {3}} \, s ^ {2}}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\aprox. 0,671$
Cubo (hexaedro)	${\ estilo de visualización \, s ^ {3}}$	${\ estilo de visualización 6 \, s ^ {2}}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\aprox. 0,806$
Octaedro	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	${\ estilo de visualización 2 {\ sqrt {3}} \, s ^ {2}}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))\right)^{\frac {1}{3))\aproximadamente 0,846$
Dodecaedro	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right )^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\aprox. 0,910$
icosaedro	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\aproximadamente 0,939$
Cuerpos con simetría axial
Cono ${\ estilo de visualización (h = 2 {\ sqrt {2}} r)}$	${\frac{1}{3}}\pi\,r^{2}h$ $={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi\,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2))})$ ${\ estilo de visualización = 4 \ pi \, r ^ {2}}$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\aproximadamente 0,794$
hemisferio	${\frac{2}{3}}\pi\,r^{3}$	${\ estilo de visualización 3 \ pi \, r ^ {2}}$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\aprox. 0,840$
Cilindro ${\ estilo de visualización (h = 2 \, r)}$	${\displaystyle \pi r^{2}h=2\pi \,r^{3))$	${\ estilo de visualización 2 \ pi r (r + h) = 6 \ pi \, r ^ {2))$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\aproximadamente 0,874$
thor ${\ estilo de visualización (R = r)}$	$2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}$	$4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\aprox. 0,894$
Esfera	${\frac{4}{3}}\pi r^{3}$	${\ estilo de visualización 4 \ pi \, r ^ {2}}$	${\ estilo de visualización 1 \,}$

Véase también

Relación isoperimétrica

Notas

↑ Wadell, Hakon. Volumen, forma y redondez de las partículas de cuarzo // Journal of Geology : diario. - 1935. - Vol. 43 , núm. 3 . - P. 250-280 . -doi : 10.1086/ 624298 .