Esquema de Bernoulli

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Se llevan a cabo experimentos, en cada uno de los cuales un determinado evento ("éxito") puede ocurrir con una probabilidad (o no suceder - "fracaso" - con una probabilidad ). La tarea es encontrar la probabilidad de obtener exactamente éxitos en estos experimentos. $norte$ $pags$ $q=1-p$ $metro$ $norte$

Solución:

P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{{nm}}

( Fórmula de Bernoulli ).

El número de aciertos es un valor aleatorio que tiene una distribución binomial .

Definición

Para aplicar el esquema de Bernoulli, se deben cumplir las siguientes condiciones:

Cada prueba tiene exactamente dos resultados, convencionalmente llamados éxito y fracaso.
Independencia de las pruebas: el resultado del siguiente experimento no debe depender de los resultados de los experimentos anteriores.
La probabilidad de éxito debe ser constante (fija) para todas las pruebas.

Considere un experimento estocástico con un espacio de dos elementos de eventos elementales . Llamemos a uno "éxito", designaremos "1", otro - "fracaso", designaremos "0". Sea la probabilidad de éxito , luego la probabilidad de fracaso . $0<p<1$ $1-p=q$

Consideremos un nuevo experimento estocástico, que consiste en la repetición de este experimento estocástico más simple. $norte$

Es claro que el espacio de eventos elementales , que corresponde a este nuevo experimento estocástico será (1), . Tomemos el Booleano del espacio de eventos elementales (2) como el -álgebra de eventos . A cada evento elemental se le asigna un número . Si en un evento elemental se observa el éxito una vez y el fracaso una vez , entonces . Deja , entonces . También es obvio que la probabilidad está normalizada: . $\Omega$ $\left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}=\overline {0,1},i=\overline {1,n}\right\rbrace$ $N(\Omega)=2^{n}$ $\sigma$ $\mathcal{A}$ $P(\Omega)$ $\omega \en \Omega$ $p(\omega)=p^{{\sum_{{i=1}}^{n}a_{i}}}q^{{n-\sum_{{i=1}}^{n} ai}}}$ $\omega$ $k$ $(nk)$ $p(\omega)=p^{k}q^{{nk}}$ $A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{{i=1}}^{n}a_{i}=k\},k=\overline {0,n}$ $P(A_{k})=\sum_{{\omega \in A_{k))}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk))$ $\sum_{{\omega \in \Omega }}P(\omega )=\sum_{{k=0}}^{n}\sum_{{\omega \in A_{k}}}P( \omega )=\sum_{{k=0}}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}}=(p+q)^{n}=1 ^{n}=1$

Al asignar un valor numérico (3) a cada evento , encontraremos la probabilidad . El espacio construido , donde es el espacio de eventos elementales definido por la igualdad (1), es el -álgebra definida por la igualdad (2), P es la probabilidad definida por la igualdad (3), se llama el esquema de prueba de Bernoulli . $A\in {\mathcal {A}}$ $P(A)=\sum_{{\omega \in A}}P(\omega )$ $P:{\mathcal {A}}\to {\mathbb {R}}$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),P)$ $\Omega$ $\mathcal{A}$ $\sigma$ $norte$

El conjunto de números se llama distribución binomial. $P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{{nk}},k=\overline {0,n},n\in {\mathbb {N}}$

Generalización (esquema polinomial)

La fórmula habitual de Bernoulli se aplica al caso en que uno de los dos eventos es posible en cada prueba. La fórmula de Bernoulli se puede generalizar al caso en que uno y solo uno de los eventos ocurre con probabilidad , donde . La probabilidad de que ocurra el primer evento y - el segundo y el k-ésimo tiempo se encuentra mediante la fórmula: $k>2$ $p_{i}(i=1,2,...,k)$ $p_{1}+...+p_{k}=1$ $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{k}$

P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k} !}}{p_{1}}^{{m_{1}}}{p_{2}}^{{m_{2}}}...{p_{k}}^{{m_{k}} }

dónde $n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.$

Teoremas

Bajo condiciones especiales (para parámetros suficientemente grandes o suficientemente pequeños), se utilizan fórmulas aproximadas de los teoremas del límite para el esquema de Bernoulli : el teorema de Poisson, el teorema local de Moivre-Laplace, el teorema integral de Moivre-Laplace .

Enlaces

Secuencia de prueba (esquema de Bernoulli)

diccionarios y enciclopedias	gran ruso
En catálogos bibliográficos	J9U : 987007283266105171 LCCN : sh85013374