Fórmula de Bernoulli

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La fórmula de Bernoulli es una fórmula de la teoría de la probabilidad que le permite encontrar la probabilidad de que un evento ocurra una cierta cantidad de veces para cualquier cantidad de intentos independientes. La fórmula de Bernoulli le permite deshacerse de una gran cantidad de cálculos (suma y multiplicación de probabilidades) con una cantidad suficientemente grande de pruebas. Nombrado en honor al destacado matemático suizo Jacob Bernoulli , quien desarrolló esta fórmula. $A$

Redacción

Teorema. Si la probabilidad de que ocurra algún evento en cada ensayo es constante, entonces la probabilidad de que ese evento ocurra exactamente una vez en ensayos independientes es igual a , donde . [una] $pags$ $P_{n}^{k}$ $k$ $norte$ ${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk))$ $q=1-p$

Prueba

Realícense ensayos independientes, y se sabe que como resultado de cada ensayo ocurre un evento con probabilidad y, por tanto, no ocurre con probabilidad . Deje también en el curso de la prueba de las probabilidades y permanecer sin cambios. ¿Cuál es la probabilidad de que, como resultado de ensayos independientes, un evento ocurra exactamente una vez? $norte$ $A$ $P(A)=p$ $PAG({\bar {A)))=1-p=q$ $pags$ $q$ $norte$ $A$ $k$

Resulta que es posible calcular con precisión el número de combinaciones "exitosas" de los resultados de las pruebas para las que el evento ocurre una vez en ensayos independientes: exactamente este es el número de combinaciones de by : $A$ $k$ $norte$ $norte$ $k$

C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.

Al mismo tiempo, dado que todos los ensayos son independientes y sus resultados son incompatibles (un evento ocurre o no ocurre), entonces la probabilidad de obtener una combinación "exitosa" es exactamente igual a . $A$ ${\displaystyle p^{k}q^{nk))$

Finalmente, para encontrar la probabilidad de que un evento ocurra exactamente una vez en ensayos independientes , debe sumar las probabilidades de obtener todas las combinaciones "exitosas". Las probabilidades de obtener todas las combinaciones "exitosas" son iguales e iguales , el número de combinaciones "exitosas" es igual a , por lo que finalmente obtenemos: $norte$ $A$ $k$ ${\displaystyle p^{k}q^{nk))$ $C_{n}^{k}$

P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^ {nk}.

La última expresión no es más que la fórmula de Bernoulli. También es útil notar que, debido a la integridad del grupo de eventos, será cierto

\sum_{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1.

Véase también

Notas

↑ Gmurman V. E. Teoría de la probabilidad y estadística matemática: libro de texto para licenciaturas . - 12ª ed. - M. : Yutypz, 2013. - 478 p. — ISBN 9785991626477 , 5991626472.

Enlaces

Repetición de pruebas. Fórmula de Bernoulli