Convergencia en medida

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La convergencia en medida (en probabilidad) en análisis funcional , teoría de probabilidad y disciplinas relacionadas es un tipo de convergencia de funciones medibles ( variables aleatorias ) dadas en un espacio con una medida ( espacio de probabilidad ).

Definición

Que sea un espacio con medida. Sean funciones medibles en este espacio. Se dice que una secuencia de funciones converge en medida a una función si $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f_n,f:X \a \mathbb{R}^m,\; n=1,2,\l puntos$ $\{f_n\}_{n=1}^{\infty}$ $F$

\forall \varepsilon > 0, \; \lim\limits_{n \to \infty}\mu(\{x \in X \mid \|f_n(x) - f(x)\|>\varepsilon\}) = 0

Designación: . $f_n \stackrel{\mu}{\longrightarrow} f$

En términos de la teoría de la probabilidad, si se da un espacio de probabilidad con variables aleatorias definidas en él , entonces dicen que converge en probabilidad a si $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X_n,X,\; n=1,2,\l puntos$ $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X$

\forall \varepsilon > 0,\; \lim\limits_{n \to \infty} \mathbb{P}(|X_n - X| > \varepsilon) = 0

Designación: . $X_n \stackrel{\mathbb{P}}{\longrightarrow} X$

Nota

La definición de convergencia en medida (en probabilidad) se puede generalizar a mapeos ( elementos aleatorios ) tomando valores en un espacio métrico arbitrario .

Propiedades de la convergencia en medida

Teorema (Riess F.): Si una secuencia de funciones converge en medida a , entonces tiene una subsecuencia que converge a - casi en todas partes . $f_n$ $F$ $f_{n_{k}}$ $F$ $\mu$

Teorema (criterio de convergencia en la medida): Si la medida es finita, entonces una secuencia de funciones converge en la medida si y solo si para cualquier subsecuencia de la secuencia existe una subsecuencia que converge en casi todas partes. $f_n$ $F$ $f_n$ $F$

Si la secuencia de funciones converge en medida a , y , donde , entonces , y converge a en . $f_n$ $F$ $\forall n \in \mathbb{N},\; |f_n| \leqslant g$ $g \en L^p,\; p \geqslant 1$ $f_n, f\en L^p$ $f_n$ $F$ $L^{p}$

Si en un espacio de medida finita una secuencia de funciones converge -casi en todas partes a , entonces también converge en medida. Lo contrario generalmente no es cierto. $f_n$ $\mu$ $F$

Si una sucesión de funciones converge en k , también converge en medida. Lo contrario generalmente no es cierto. $f_n$ $L^{p}$ $F$

Si una secuencia de variables aleatorias converge en probabilidad a , entonces converge a y en distribución . $X_n$ $X$ $X$
Si una secuencia de variables aleatorias converge en probabilidad a , entonces para cualquier función continua es cierto que . Esta afirmación es cierta para cualquier función continua de varias variables, en particular $X_n$ $X$ $f(x)$ $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$ $X_{n}+Y_{n}\a X+Y,n\a \infty$