Convergencia de distribución

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La convergencia de distribución en la teoría de la probabilidad es un tipo de convergencia de variables aleatorias .

Definición

Sea dado un espacio de probabilidad y variables aleatorias definidas en él . Cada variable aleatoria induce una medida de probabilidad , llamada su distribución . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X,X_{n}:\Omega \to {\mathbb {R}}^{m},\,n=1,2,\ldots$ $\mathbb{R} ^{m}$

Las variables aleatorias convergen en distribución a una variable aleatoria si las distribuciones convergen débilmente a la distribución , es decir $X_n$ $X$ ${\ matemáticas {P}}^{{X_{n}}}$ $\mathbb{P} ^{X}$

\lim \limits _{{n\to \infty }}\int \limits _{{{\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{ X_{n}}}(dx)=\int \limits _{({\mathbb {R}}^{m}}}f(x)\,{\mathbb {P}}^{{X}}( dx)

para cualquier función continua acotada [1] [2] . $f:{\mathbb {R}}^{m}\a {\mathbb {R}}$

Notas

Usando el teorema de cambio de medida integral de Lebesgue , la última igualdad se puede reescribir de la siguiente manera:

\lim \limits _{{n\to \infty }}{\mathbb {E}}f(X_{n})={\mathbb {E}}f(X)

El límite de distribución no es único. Si las distribuciones de dos variables aleatorias son idénticas, entonces son o no un límite en la distribución de una secuencia de variables aleatorias.

Propiedades de la convergencia en distribución

Las variables aleatorias convergen en distribución si sus funciones de distribución convergen a la función de distribución límite en todos los puntos de continuidad de esta última: $X_n$ $X$ $F_{{X_{n}}}$ $F_{X}$

F_{X}\in C(x)\Rightarrow \lim \limits_{{n\to \infty }}F_{{X_{n}}}(x)=F_{X}(x)

Si todas las variables aleatorias en la definición son absolutamente continuas y sus densidades convergen:

\lim \limits _{{{n\to \infty }}f_{{X_{n}}}(x)\to f_{X}(x)

casi en todas partes , entonces _ ¡Lo contrario generalmente no es cierto!

X_{n}\a ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D))))X

La convergencia en probabilidad (y por lo tanto la convergencia casi con seguridad en ) implica la convergencia en distribución : $L^{p}$

X_{n}\a ^{{\!\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P}}}}X\Rightarrow X_{n}\a ^{{\!\!\! \!\!\!\!{\mathcal {D}}}}X

. Lo contrario generalmente no es cierto.

Véase también

teorema de slutsky

Notas

↑ en:Convergencia_de_variables_aleatorias#Convergencia_en_distribución
↑ en:Convergencia_de_medidas#Convergencia_débil_de_medidas