Forma de valor tangente

Las formas con valores tangentes son una generalización de las formas diferenciales , en las que el conjunto de valores de la forma es el haz tangente a la variedad .

Definición

Una forma de valor tangente en una variedad es una sección del producto tensorial de la tangente y las potencias externas de los paquetes cotangentes a la variedad: $METRO$

\omega \colon M\to \left(\wedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes_{M}TM

\pi \circ \omega =\imath d

Operaciones

Diferenciación interna
Diferenciación externa

Derivado de mentira

Un caso especial de formas con valores tangenciales son los campos vectoriales . La derivada de Lie de un campo tensorial con respecto a un campo vectorial se define de la forma estándar: $T$ $X$

L_{X}T={\frac{d}{dt}}g^{t}T

donde es el flujo de fase correspondiente al campo vectorial . Esta operación está relacionada con la multiplicación interna de una forma diferencial por un campo vectorial y la diferenciación externa por la fórmula de homotopía : ${\ Displaystyle g^{t}}$ $X$ ${\ estilo de visualización \ imath _ {X}}$

L_{X}=\imath _{X}d+d\imath _{X}

eso es

L_{X}=[\imath _{X},d]

donde es el conmutador en el álgebra graduada de derivaciones de formas tangencialmente valoradas. Para una forma tangencial arbitraria , la derivada de Lie se define por analogía: $[\cdot ,\cdot]$ $k$

L_{K}=[\imath _{K},d]

Propiedades

${\ estilo de visualización [L_{K}, d] = 0}$

Soporte Frölicher-Nijenhuis

El corchete de Frölicher-Nijenhuis de dos formas tangencialmente valoradas y se define como una única forma tangencialmente valorada para la cual $[\cdot ,\cdot]$ $k$ $F$ ${\ estilo de visualización [K, F]}$

{\ estilo de visualización [L_{K},L_{F}]=L([K,F])}

Esta operación se califica como anticonmutativa y satisface la identidad de Jacobi graduada . Si percibimos una estructura casi compleja como una forma 1 de valor tangente, su tensor de Nijenhuis (un tensor que impide la búsqueda de mapas locales complejos) se expresa a través del paréntesis de Frölicher-Nijenhuis como . [1] La condición de “integrabilidad” de una determinada estructura como la desaparición de algunos de sus paréntesis consigo misma es común: por ejemplo, la condición de asociatividad de un álgebra puede definirse como la desaparición del paréntesis de Gerstenhaber en el espacio de codiferenciaciones de una coalgebra libre generada por el espacio vectorial subyacente del álgebra , colocada en grado 1 (las multiplicaciones bilineales son lo mismo que la codiferenciación de grado 1) [2] . $yo$ ${\ estilo de visualización [yo, yo]}$ $A$ $A$ $\mu \colon A\otimes A\to A$

Corchete Nijenhuis-Richardson

El corchete Nijenhuis-Richardson (corchetes algebraicos) de dos formas tangencialmente valoradas y se define como la única forma tangencialmente valorada para la cual ${\ estilo de visualización [\ cdot, \ cdot] ^ {\ cuña}}$ $k$ $F$ ${\ estilo de visualización [K, F] ^ {\ cuña}}$

{\ estilo de visualización [\ imath _ {K}, \ imath _ {F}] = \ imath ([K, F] ^ {\ cuña})}

Esta operación se califica como anticonmutativa y satisface la identidad de Jacobi calificada . Forma explícita para paréntesis de dos formas : $K\en \Omega ^{k+1}(M,TM)$ $F\en \Omega ^{f+1}(M,TM)$

[K,F]^{\cuña }=\imath _{k}F-(-1)^{kf}\imath _{F}K

Definiciones relacionadas

Una forma se llama soldadura si se encuentra en . $T^{*}M\otimes TM$

Notas

↑ Docenas de definiciones del tensor de Nijenhuis de una estructura casi compleja . $N_{J}\en \Lambda ^{2}T^{*}M\otimes TM$ $J\in T^{*}M\otimes TM$ . Fecha de acceso: 31 de enero de 2016. Archivado desde el original el 26 de marzo de 2015. (indefinido)
↑ Métodos homológicos en geometría no conmutativa, Conferencia 8. Archivado el 24 de marzo de 2017 en Wayback Machine , Lema 8.2

Literatura

GA Sardanashvili Métodos modernos de teoría de campos. Vol. 1: Geometría y campos clásicos, - M. : URSS, 1996. - 224 p.
Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Operaciones naturales en geometría diferencial , - Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0-387-56235-4 .