Colector

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Una variedad ( variedad topológica ) es un espacio localmente similar al euclidiano . El espacio euclidiano es el ejemplo más simple de variedad. La dimensión de una variedad está determinada por la dimensión del espacio euclidiano con el que es localmente similar.

Un ejemplo más complejo es la superficie de la Tierra : es posible hacer un mapa de cualquier zona de la superficie terrestre, por ejemplo, un mapa de un hemisferio, pero es imposible hacer uno único (plano y sin discontinuidades). ) mapa de toda su superficie.

El estudio de las variedades comenzó en la segunda mitad del siglo XIX, surgieron de forma natural en el estudio de la geometría diferencial y la teoría de los grupos de Lie . Sin embargo, las primeras definiciones precisas se hicieron recién en los años 30 del siglo XX.

Por lo general, se consideran las llamadas variedades suaves , es decir, aquellas en las que hay una clase distinguida de funciones suaves ; en tales variedades se puede hablar de vectores tangentes y espacios tangentes. Para medir las longitudes de curvas y ángulos, necesitamos una estructura adicional: la métrica de Riemann .

En la mecánica clásica , la variedad subyacente es el espacio de fase . En relatividad general, una variedad pseudo-Riemanniana de cuatro dimensiones se utiliza como modelo para el espacio-tiempo .

Definiciones

$norte$ Una variedad topológica adimensional sin límite es un espacio topológico de Hausdorff con una base contable en el que cada punto tiene un vecindario abierto homeomorfo a un subconjunto abierto , es decir, un espacio euclidiano adimensional . $\mathbb{R} ^{n}$ $norte$

$norte$ variedad topológica -dimensional[ aclarar ] es un espacio topológico de Hausdorff con una base contable en el que cada punto tiene una vecindad homeomorfa a un subconjunto abierto de un semiespacio cerrado en (también consideramos uniones abiertas de subconjuntos abiertos con la intersección de su límite y el hiperplano límite) . $\mathbb{R} ^{n}$

Los puntos que tienen una vecindad abierta homeomorfa a un subconjunto abierto se denominan internos , y el conjunto de todos esos puntos es el interior de la variedad (siempre es un conjunto no vacío). $\mathbb{R} ^{n}$
El complemento al interior se llama límite , es una variedad bidimensional sin límite. $(n-1)$

Características de la definición

La condición de numerabilidad base es equivalente al hecho de que la variedad se incrusta en un espacio euclidiano de dimensión finita (el hecho de que existe tal incrustación se confirma mediante el teorema de incrustación de Whitney ).
A veces, en lugar de la condición de contabilidad básica, se utiliza una condición más débil para que el espacio sea paracompacto [1] .
La noción de borde presentada aquí no es de ninguna manera equivalente a la noción de límite relativo en la topología general.
El requisito de ser Hausdorff puede parecer redundante; Se puede construir un ejemplo de un espacio que es localmente homeomorfo a euclidiano pero no a Hausdorff pegando dos copias de la línea real en todos los puntos excepto en uno.

Colectores lisos

La estructura suave que se define a continuación ocurre comúnmente en casi todas las aplicaciones y hace que sea mucho más fácil trabajar con el colector.

Para una variedad topológica sin límite , un mapa es un homeomorfismo de un conjunto abierto a un subconjunto abierto . Un conjunto de mapas que cubren todo se llama atlas . $METRO$ $\varphi$ $U\subconjunto M$ $\mathbb{R} ^{n}$ $METRO$

Si dos mapas y cubren un punto en , entonces su composición define un mapa "pegado" del conjunto abierto al conjunto abierto . Si todas las asignaciones de pegado son de una clase (es decir, veces funciones continuamente diferenciables), entonces el atlas se llama atlas (también se puede considerar o , que corresponde a pegados infinitamente diferenciables y analíticos). $\varphi$ $\psi$ $METRO$ $\varphi\circ\psi^{-1}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $C^k$ $k$ $C^k$ $k=\infty$ $\omega$

Ejemplo: se puede cubrir una esfera - con un atlas de dos mapas sobre las adiciones de los polos norte y sur con proyecciones estereográficas en relación a estos polos. $C^\infty$

Dos atlas definen una estructura lisa si su unión es -atlas . $C^k$ $C^k$ $C^k$

Para tales variedades, se pueden introducir los conceptos de vector tangente , espacios tangentes y cotangentes , y paquetes .

Para una estructura -smooth dada, uno puede encontrar una estructura -smooth dada por un nuevo atlas que define la misma estructura -smooth. Además, todas las variedades así obtenidas son -difeomorfas. Por lo tanto, una estructura suave a menudo se entiende como una estructura suave. $c ^ 1$ $C^\infty$ $C^\infty$ $c ^ 1$ $C^\infty$ $c ^ 1$

No toda variedad topológica admite una estructura suave. Ejemplos de tales variedades "aproximadas" ya aparecen en la dimensión cuatro. También hay ejemplos de variedades topológicas que admiten varias estructuras suaves diferentes. El primer ejemplo de una estructura lisa no estándar, la llamada esfera de Milnor , fue construida por Milnor sobre una esfera de siete dimensiones.

Ejemplos

El ejemplo más simple de una variedad son los espacios $\mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )$
Un círculo es una variedad de dimensión 1. En general, cualquier contorno que no se corte a sí mismo puede considerarse como una variedad unidimensional. Tenga en cuenta que para un contorno no suave, el mapeo correspondiente de la incrustación en no es un mapeo de variedades suaves. $\mathbb{R} ^{n}$
El disco es una variedad con frontera .
Cualquier superficie bidimensional sin borde es un ejemplo de una variedad bidimensional ( esfera , toro , pretzel , …). De acuerdo con el conocido teorema de clasificación topológica, cualquier variedad bidimensional orientable tiene la forma de una esfera con varios mangos pegados.
Una cinta de Möbius es un ejemplo de una variedad bidimensional no orientable con límite. Un ejemplo de una variedad bidimensional no orientable sin límite es el plano proyectivo (la variedad de líneas en ). Tenga en cuenta que no se puede incrustar en . $\mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb{R} ^{3}$
Todos los ejemplos anteriores de variedades pueden estar dotados de forma única con una estructura suave. Sin embargo, en dimensiones más altas, son posibles diferentes estructuras suaves en la misma variedad topológica.
Ejemplos no triviales de variedades de cualquier dimensión son espacios proyectivos (una variedad de líneas en ) y variedades Grassmannianas (una variedad de subespacios -dimensionales en ). $\RP^n$ $\R^{n+1}$ $\mathrm{Gr}(k,n)$ $k$ $\mathbb{R} ^{n}$

Tipos múltiples

Una variedad cerrada es una variedad conexa compacta sin límite. Ejemplos: círculo , esfera , toro , botella de Klein .
Una variedad abierta es una variedad conexa no compacta sin límite. Ejemplos: espacio euclidiano .

Clasificación de variedades

Toda variedad unidimensional conectada sin límite es homeomorfa a una línea o círculo real.

La clase homeomórfica de una superficie conexa cerrada viene dada por su característica de Euler y su orientabilidad (si la superficie es orientable, entonces es una esfera con asas , si no, entonces la suma conexa de varias copias del plano proyectivo ).

La clasificación de 3-variedades cerradas se deriva de la conjetura de Thurston , que Perelman demostró recientemente .

Si la dimensión es mayor que tres, la clasificación es imposible; además, no es posible construir un algoritmo que determine si una variedad es simplemente conexa . Sin embargo, existe una clasificación de todas las variedades simplemente conexas en todas las dimensiones ≥ 5.

También se pueden clasificar las variedades suaves.

En las dimensiones 1, 2 y 3, cualquier par de variedades homeomórficas también es difeomorfa.
En la dimensión 4, hay ejemplos de variedades cerradas que admiten un número infinito de estructuras suaves no equivalentes, mientras que las variedades abiertas, como , admiten un continuo de diferentes estructuras suaves. $\R^4$
En las dimensiones 5 y superiores, cualquier variedad topológica admite como máximo un número finito de estructuras suaves no equivalentes.

Estructuras adicionales

Los colectores lisos a menudo están equipados con estructuras adicionales. Aquí hay una lista de las estructuras adicionales más comunes:

tensor métrico
forma simpléctica
Estructura compleja

Variaciones y generalizaciones

Véase también

variedad algebraica
gráfico múltiple

Notas

↑ S. Lang. Introducción a las variedades diferenciables. — 2do. - Springer-Verlag New York, Inc., 2002. - 250 p. — ISBN 0-387-95477-5 .

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. geometría moderna. Métodos y aplicaciones. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 p.

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