Paquete de tensores

Un haz tensorial de tipo sobre una variedad diferenciable es un haz vectorial sobre , asociado al haz de tramas tangentes y que tiene como fibra estándar el espacio de tensores de tipo sobre , en el que el grupo actúa por medio de una representación tensorial. Por ejemplo, coincide con la fibra tangente sobre , a coincide con la fibra cotangente . $(p,\;q)$ $METRO$ $T^{{p,\;q}}(M)$ $METRO$ $T^{p,\;q}(\mathbb {R} ^{n})$ $(p,\;q)$ $\mathbb{R} ^{n}$ $GL(n,\;\mathbb {R} )$ $T^{1,\;0}(M)$ ${\ estilo de visualización T (M)}$ $METRO$ $T^{0,\;1}(M)$ $T(M)^{*}$

En general, un paquete tensorial es isomorfo al producto tensorial de paquetes tangentes y cotangentes:

T^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes}}\,T(M)\,\bigotimes \,{\overset {q}{\bigotimes} }\,T(M)^{*}.

Los haces en sí mismos son sólo la base para construir secciones de haces tensoriales de tipo , que se denominan campos tensoriales de tipo y son el principal objeto de estudio de la geometría diferencial . Así, por ejemplo, una estructura de Riemann es una sección suave del paquete , cuyos valores son formas simétricas definidas positivas . $(p,\;q)$ ${\ estilo de visualización (p, \; q)}$ $METRO$ $T^{0,\;2}(M)$

Las secciones suaves del paquete forman un módulo sobre el álgebra de funciones suaves en . Si es un colector paracompacto , entonces $T^{{p,\;q}}(M)$ $D^{p,\;q}(M)$ $F^{\infty}(M)=D^{0,\;0}(M)$ $METRO$ $METRO$

D^{p,\;q}(M)\cong {\overset {p}{\bigotimes}}\,D^{1}(M)\,\bigotimes \,{\overset {q} {\bigotimes}}\,D^{1}(M)^{*},

donde es el módulo de los campos vectoriales uniformes , es el módulo de las formas diferenciales de Pfaffian y se toman los productos tensoriales . $D^{1}(M)=D^{1,\;0}(M)$ $D^{1}(M)^{*}=D^{0,\;1}(M)$ $F^{\infty}(M)$

En la geometría diferencial clásica, los campos de tensores a veces se denominan simplemente tensores en . $METRO$

Literatura

Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentos de geometría diferencial. - M. : Instituto Novokuznetsk de Física y Matemáticas, 1999. - T. 1. - 344 p. - ISBN 5-80323-180-0 . .
Helgason S. Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos. - M. : Prensa Factorial, 2005. - 608 p. - (siglo XX. Matemáticas y mecánica). — ISBN 5-88688-076-3 . .