Teoría de la elasticidad

La teoría de la elasticidad es una sección de la mecánica continua que estudia la deformación de los sólidos elásticos , su comportamiento bajo cargas estáticas y dinámicas.

La tarea principal de la teoría de la elasticidad es descubrir cuáles serán las deformaciones del cuerpo y cómo cambiarán con el tiempo por influencias externas dadas. El principal sistema de ecuaciones para resolver este problema son tres ecuaciones de equilibrio que contienen seis componentes desconocidos del tensor de tensión simétrico . La simetría del tensor de tensiones se postula en este caso por la hipótesis del apareamiento de esfuerzos cortantes . Para cerrar el sistema se utilizan las llamadas ecuaciones de compatibilidad de deformaciones (en efecto, para un cuerpo que permanece sólido durante el proceso de deformación, existen componentes del tensor de deformaciones que no pueden ser independientes -estos componentes se expresan en términos de tres funciones- componentes del desplazamiento de un punto del cuerpo: relaciones simétricas de Cauchy ). Seis ecuaciones de compatibilidad de deformaciones y ecuaciones de la ley de Hooke generalizada completan el problema de la teoría de la elasticidad.

La teoría de la elasticidad es la base de la ingeniería y la arquitectura. Además de los problemas estáticos obvios (la estabilidad de los edificios y otras estructuras, la resistencia de los vehículos), la teoría de la elasticidad también se utiliza para resolver problemas dinámicos (por ejemplo, la estabilidad de las estructuras durante terremotos y bajo la acción de potentes ondas sonoras). ; resistencia a las vibraciones de diversos dispositivos e instalaciones). La teoría de la elasticidad aquí se cruza con la ciencia de los materiales y sirve como uno de los puntos fuertes en la búsqueda de nuevos materiales. La teoría de la elasticidad también es importante para la exploración sísmica .

Enfoques de la declaración del problema

Hay tres opciones para plantear problemas en la teoría de la elasticidad.

1. Planteamiento de problemas de la teoría de la elasticidad en desplazamientos

Las principales incógnitas son las tres componentes del vector de desplazamiento (en lo sucesivo, desplazamientos). Deben satisfacer las tres ecuaciones de equilibrio escritas en desplazamientos ( la ecuación de Lame ). En cada punto no singular de la superficie del cuerpo, los desplazamientos deben satisfacer tres condiciones de contorno. Las condiciones de contorno se pueden formular de tres maneras:

se dan desplazamientos;
se dan combinaciones de tensiones, escritas en términos de derivadas normales y tangenciales de los desplazamientos;
Se dan combinaciones de tensiones y desplazamientos, escritas en términos de las derivadas normal y tangencial de los desplazamientos y en términos de los desplazamientos mismos.

Sobre la base de desplazamientos conocidos, las deformaciones se determinan por diferenciación (relaciones de Cauchy simétricas). Las deformaciones obtenidas a partir de los desplazamientos satisfacen de forma idéntica las seis ecuaciones de compatibilidad de deformaciones, de acuerdo con los desplazamientos conocidos, se puede encontrar diferenciando las componentes del tensor de rotación y el pseudovector de rotaciones (relaciones de Cauchy antisimétricas). A partir de deformaciones conocidas, las tensiones se determinan algebraicamente (las ecuaciones de la ley de Hooke ).

2. Planteado de problemas de la teoría de la elasticidad en tensiones. Las principales incógnitas son los seis componentes del tensor de tensión simétrico. Deben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio escritas en esfuerzos y seis ecuaciones de compatibilidad de deformación escritas usando las ecuaciones de la ley de Hooke en esfuerzos. Las deformaciones se determinan algebraicamente a partir de las tensiones encontradas a partir de las ecuaciones inversas de la ley de Hooke . Los desplazamientos se integran en cuadraturas sobre las deformaciones encontradas mediante las fórmulas de Cesaro , y se asegura la integrabilidad, ya que se satisfacen las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones . Para simplificar la formulación de la tensión, se puede expresar en términos del potencial tensorial de tal manera que las ecuaciones de equilibrio se satisfagan de manera idéntica, y las ecuaciones de compatibilidad se dividirán en ecuaciones separadas para cada uno de los componentes del potencial tensorial de la tensión. . Manteniendo ciertos componentes del potencial tensor de tensión simétrico y poniendo el resto a cero, se pueden obtener como casos especiales las conocidas formulaciones de Maxwell , Morrer , Airy .

3. Planteado de problemas de la teoría de la elasticidad en forma mixta.

Conceptos básicos de la teoría de la elasticidad

Los conceptos básicos de la teoría de la elasticidad son tensiones que actúan sobre pequeñas áreas que se pueden dibujar mentalmente en el cuerpo a través de un punto P dado, deformaciones en una pequeña vecindad del punto P y desplazamiento del propio punto P. Más precisamente, la tensión tensor , el tensor de pequeña deformación y el vector de desplazamiento u i . ${\ estilo de visualización \ sigma _ {ij} \, \!}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$

La notación abreviada , donde los índices i, j toman los valores 1, 2, 3 (o x, y, z ) debe entenderse como una matriz en la forma: ${\ estilo de visualización \ sigma _ {ij} \, \!}$

{\boldsymbol {\sigma_{ij))}={\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\sigma_{12}&\sigma_{13}\\\sigma_{21} &\sigma_{22}&\sigma_{23}\\\sigma_{31}&\sigma_{32}&\sigma_{33}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{ matriz}\sigma_{xx}&\sigma_{xy}&\sigma_{xz}\\\sigma_{yx}&\sigma_{yy}&\sigma_{yz}\\\sigma_{ zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matriz}}\right]\,\!

La notación corta para el tensor debe entenderse de manera similar . ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$

Si el punto físico del cuerpo P debido a la deformación ha tomado una nueva posición en el espacio P', entonces el vector desplazamiento se denota con componentes ( u x ,u y ,u z ), o, en resumen, u i . En la teoría de las pequeñas deformaciones, las componentes u i y se consideran cantidades pequeñas (estrictamente hablando, infinitesimales). Las componentes del tensor , también llamado tensor de deformación de Cauchy o tensor de deformación lineal, y el vector u i están relacionados por dependencias: $\mathbf {PP'}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$

\varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)=\left[{\begin{matriz}\ varepsilon _ {xx} & \ varepsilon _ {xy} & \ varepsilon _ {xz} \\\ varepsilon _ {yx} & \ varepsilon _ {yy} & \ varepsilon _ {yz} \\\ varepsilon _ {zx} & \varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matriz}}\right]=\left[{\begin{matriz}{\frac {\parcial u_{x}}{\parcial x} }&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{x}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial u_{y}}{\parcial x}} \right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{x}}{\parcial z}}+{\frac {\parcial u_{z}}{\parcial x }}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{y}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial u_{x}}{ \parcial y}}\right)&{\frac {\parcial u_{y}}{\parcial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_{y} }{\parcial z}}+{\frac {\parcial u_{z}}{\parcial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\parcial u_ {z}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial u_{x}}{\parcial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\ parcial u_{z)){\parcial y))+{\frac {\parcial u_{y)){\parcial z))\right)&{\frac {\parti  al u_{z}}{\parcial z}}\\\end{matriz}}\right]\,\!

Se puede ver en la última entrada que , por lo que el tensor de deformación es simétrico por definición. $\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!$

Si un cuerpo elástico bajo la acción de fuerzas externas está en equilibrio (es decir, las velocidades de todos sus puntos son iguales a cero), entonces cualquier parte de él que pueda separarse mentalmente de él también está en equilibrio. Del cuerpo se extrae un paralelepípedo rectangular infinitamente pequeño, cuyas caras son paralelas a los planos de coordenadas del sistema cartesiano. A partir de la condición de equilibrio para un paralelepípedo con nervaduras de tamaño dx, dy, dz, habiendo considerado las condiciones para el equilibrio de fuerzas en proyección, podemos obtener:

{\begin{alineado}&{\frac {\parcial \sigma _{xx}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial \sigma _{xy}}{\parcial y}}+ {\frac {\parcial \sigma _{xz}}{\parcial z}}+F_{x}=0\\&{\frac {\parcial \sigma _{yx}}{\parcial x}}+{ \frac {\parcial \sigma _{yy}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial \sigma _{yz}}{\parcial z}}+F_{y}=0\\&{\ frac {\parcial \sigma _{zx}}{\parcial x}}+{\frac {\parcial \sigma _{zy}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial \sigma _{zz} }{\parcial z}}+F_{z}=0\\\end{alineado}}

Del mismo modo, se obtienen ecuaciones de equilibrio que expresan la igualdad a cero del momento principal de todas las fuerzas que actúan sobre el paralelepípedo, que se reducen a la forma:

\sigma_{xy}=\sigma_{yx},\sigma_{yz}=\sigma_{zy},\sigma_{zx}=\sigma_{xz}\,\!

Esta igualdad significa que el tensor de tensiones es un tensor simétrico y el número de componentes desconocidos del tensor de tensiones se reduce a 6. Solo hay tres ecuaciones de equilibrio, es decir, las ecuaciones estáticas no son suficientes para resolver el problema. La salida es expresar la tensión en términos de deformaciones usando las ecuaciones de la ley de Hooke , y luego expresar las deformaciones en términos de desplazamientos u i usando las fórmulas de Cauchy, y sustituir el resultado en la ecuación de equilibrio. En este caso se obtienen tres ecuaciones diferenciales de equilibrio con respecto a tres funciones desconocidas u x u y u z , es decir, el número de incógnitas corresponderá al número de ecuaciones. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Navier-Cauchy. ${\ estilo de visualización \ sigma _ {ij} \, \!}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\parcial {\parcial x))\left({\frac {\parcial u_{x)){\parcial x))+{\ frac {\parcial u_{y}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial u_{z}}{\parcial z}}\right)+\mu \left({\frac {\parcial ^{ 2}u_{x}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u_{x}}{\parcial y^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u_{x}}{\parcial z^{2}}}\right)+F_{x}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\parcial }{\parcial y))\left({\frac {\parcial u_{x)){\parcial x))+{\ frac {\parcial u_{y}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial u_{z}}{\parcial z}}\right)+\mu \left({\frac {\parcial ^{ 2}u_{y}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u_{y}}{\parcial y^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u_{y}}{\parcial z^{2}}}\right)+F_{y}=0\,\!

\left(\lambda +\mu \right){\frac {\parcial {\parcial z))\left({\frac {\parcial u_{x)){\parcial x))+{\ frac {\parcial u_{y}}{\parcial y}}+{\frac {\parcial u_{z}}{\parcial z}}\right)+\mu \left({\frac {\parcial ^{ 2}u_{z}}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u_{z}}{\parcial y^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}u_{z}}{\parcial z^{2}}}\right)+F_{z}=0\,\!

donde están los parámetros de Lame :

\lambda ={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )))

\mu ={\frac {E}{2(1+\nu )))

Medios homogéneos anisotrópicos

Para medios anisotrópicos, el tensor de rigidez es más complejo. La simetría del tensor de tensión significa que hay como máximo 6 elementos de tensión diferentes. De manera similar, hay como máximo 6 elementos diferentes del tensor de deformación . Por lo tanto, el tensor de rigidez de cuarto orden se puede escribir como una matriz (tensor de segundo orden). La notación de Voigt es la forma estándar de mostrar los índices de tensor, $C_{ijkl}\,\!$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {ij} \, \!}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ij} \, \!}$ $C_{ijkl}\,\!$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

{\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix)){\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\ Flecha hacia abajo &\Flecha hacia abajo &\Flecha hacia abajo &\Flecha hacia abajo &\\1&2&3&4&5&6\end{matriz}}\,\!

Usando estas notaciones, uno puede escribir la matriz de elasticidad para cualquier medio linealmente elástico como:

C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_ {12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\ \C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56 }\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatriz}}.\,\!

Como se muestra, la matriz es simétrica. Este es el resultado de la existencia de una función de densidad de energía de deformación que satisface . Por lo tanto, hay como máximo 21 constantes diferentes . $C_{\alpha \beta }\,\!$ ${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\parcial W}{\parcial \varepsilon _{ij))))$ $C_{\alpha \beta }\,\!$

El caso especial isotrópico tiene 2 elementos independientes:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}K+4\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K+ 4 \mu \ /3&K-2\mu \ /3&0&0&0\\K-2\mu \ /3&K-2\mu \ /3&K+4\mu \ /3&0&0&0\\0&0&0&\mu \ &0&0\\0&0&0&0&\mu \ &0 \\0&0&0&0&0&\mu \ \end{bmatriz}}.\,\!

El caso anisotrópico más simple de simetría cúbica tiene 3 elementos independientes:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12 }&C_{12}&C_{11}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{44}\end{bmatrix}}.\,\!

El caso de la isotropía transversal, también llamada anisotropía polar (con un eje de simetría), tiene 5 elementos independientes:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11} &C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatriz}}.\,\ !

Cuando la isotropía transversal es débil (es decir, cercana a la isotropía), una parametrización alternativa que utiliza los parámetros de Thomsen resulta conveniente para escribir fórmulas para velocidades de onda.

El caso de ortotropía (simetría de ladrillo) tiene 9 elementos independientes:

C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13 }&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.\,\!

Véase también

Literatura

Bolotin VV Estabilidad dinámica de sistemas elásticos. - M. : Gostekhizdat, 1956. - 600 p.
Ilyushin A. A. Mecánica continua. - M. : Editorial de Moscú. un-ta, 1978. - 287 p.
Likhachev V. A., Malinin V. G. Teoría analítica estructural de la fuerza. - San Petersburgo. : Nauka, 1993. - 471 p.
Lur'e A. I. Teoría de la elasticidad. — M .: Nauka, 1970. — 940 p.
Panovko Ya. G. , Gubanova I. I. Estabilidad y vibraciones de sistemas elásticos: conceptos modernos, errores y paradojas. - M. : Nauka, 1979. - 384 p.
Rabotnov Yu. N. Mecánica de un cuerpo sólido deformable. - M. : Nauka, 1979. - 744 p.
Sedov L. I. Mecánica continua. Volumen 1. . - M. : Nauka, 1970. - 492 p.
Sedov L. I. Mecánica continua. Volumen 2. . — M .: Nauka, 1970. — 568 p.
Truesdell K. Curso inicial de mecánica racional continua. . — M .: Nauka, 1975. — 592 p.

Enlaces

Curso de elasticidad

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