Teorema del operador inverso de Banach

El teorema del operador inverso de Banach es uno de los tres principios básicos de la teoría de operadores lineales de "Banach" (los otros dos son el teorema de Hahn-Banach y el principio de acotación uniforme ). [una]

Redacción

Si un operador lineal acotado mapea todo el espacio de Banach en todo el espacio de Banach uno a uno , entonces existe un operador lineal acotado inverso al operador que se mapea en . [2] $A$ $mi$ $E_1$ $A^{{-1}}$ $A$ $E_1$ $mi$

Consecuencias

Teorema de mapeo abierto

Está abierto un mapeo continuo lineal de un espacio de Banach en todo el espacio de Banach . [3] $A$ $mi$ $E_1$

El triple lema

Sean espacios de Banach y , operadores lineales continuos , y asigne a todo (es decir, ). si al mismo tiempo $mi, mi_1, mi_2$ $A \ dos puntos E \ a E_1$ $B\colon E\a E_2$ $B$ $mi$ $E_2$ $\mbox{Im}\, B = E_2$

\mbox{Ker} \, A \supset \mbox{Ker}\, B,

entonces existe un operador lineal continuo tal que . $C \ dos puntos E_2 \ a E_1$ $A = CB$

Aquí , está el núcleo y es la imagen del operador . Simbólicamente, la afirmación del triple lema está convenientemente representada por el siguiente esquema: [4] $\mbox{Ker}\, A$ $\mbox{Im}\,A$ $A$

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{ \mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{matriz}}

Notas

↑ Helemsky A. Ya. Operador lineal // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional, 1965 , p. 159.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , p. 227.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional, 1976 , p. 228.

Literatura

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. — Ciencia, cap. edición Phys.-Math. iluminado.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. Elementos de análisis funcional. - Ed. 2º, revisado.. - M. : Nauka, 1965. - 520 p.
Weinberg M. M. Análisis funcional. - M .: Educación, 1979. - 128 p.