El principio de acotación uniforme

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El principio de acotación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es un resultado fundamental del análisis funcional . El teorema establece que la acotación puntual y uniforme son equivalentes para familias de operadores lineales continuos dados en un espacio de Banach .

Historia

El teorema fue probado por Banach y Steinhaus e independientemente por Hans Hahn .

Redacción

Sea un espacio de Banach , sea un espacio vectorial normado y sea una familia de operadores continuos lineales de a . Supongamos que para cualquier $X$ $Y$ $F$ $X$ $Y$ $x\en X$

\sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .

Después

\sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\ |_{{\mathcal {L}}(X,Y)}<\infty .

Consecuencias

Si una secuencia de operadores acotados en un espacio de Banach converge puntualmente, entonces su límite puntual es un operador acotado.

Variaciones y generalizaciones

El espacio de barril es el tipo más general de espacios en los que se cumple el principio de acotación uniforme.

El principio de acotación se cumple para familias de aplicaciones de a si es un espacio de Baire y es un espacio localmente convexo . $X$ $Y,$ $X$ $Y$

Referencias

Banach, Stefan & Steinhaus, Hugo (1927), Sur le principe de la condensation de singularités , Fundamenta Mathematicae T. 9: 50–61 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm9/fm918 .pdf > (fr.)
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