Teorema de elección de Bertrand

En combinatoria , el Teorema de Elección de Bertrand , llamado así por Joseph Bertrand , quien lo publicó en 1887,  es un enunciado que prueba la respuesta a la pregunta "¿Cuál es la probabilidad de que en una elección que involucre a dos candidatos, en la que el primero obtenga p votos y el segundo obtiene q  <  p , ¿estará el primero por delante del segundo durante todo el tiempo del conteo de votos? Respuesta a esta pregunta:

.

En su publicación, Bertrand esbozó una demostración de este teorema por inducción y se preguntó si podría demostrarse mediante métodos combinatorios. Tal prueba fue propuesta por D. Andre[1] .

Ejemplo

Supongamos que hay 5 votos, de los cuales 3 se otorgan al candidato A y 2 al candidato B. En este caso, p =3 yq =2. Dado que solo se conoce el resultado de la votación, hay 10 opciones para las secuencias de votos:

• AAABB
• AABAB
• ABAAB
• BAAAAB
• AABBA
• ABABA
• BAABA
• ABBAA
• BABA
• BBAAA

Para la secuencia AABAB , el conteo de votos se vería así:

Candidato	A	A	B	A	B
A	una	2	2	3	3
B	0	0	una	una	2

Se puede ver que en cada columna el número de votos para A es estrictamente mayor que el número de votos para B , lo que significa que esta secuencia de votos cumple la condición.

Para la secuencia AABBA tenemos lo siguiente:

Candidato	A	A	B	B	A
A	una	2	2	2	3
B	0	0	una	2	2

En este caso, A y B serán iguales a partir de la cuarta votación, por lo que esta sucesión no cumple la condición dada. De las 10 secuencias posibles, solo caben AAABB y AABAB . Por lo tanto, la probabilidad de que A esté por delante de B durante todo el período de votación es

totalmente de acuerdo con la predicción del teorema.

Prueba por inducción

• Base de inducción . Obviamente, el teorema es cierto para p  > 0 y q  = 0: en este caso, la probabilidad es 1, ya que el primer candidato obtiene todos los votos. El teorema también se cumple para p  =  q  > 0: la probabilidad es 0 debido a que el número de votos de los candidatos será igual al menos al final del conteo.
• Suposición inductiva . Supondremos que el teorema es cierto para p  =  a  − 1 y q  =  b y cuando p  =  a y q  =  b − 1 bajo la condición a  >  b  > 0.
• transición de inducción . Entonces en el caso de p  =  a y q  =  b , el último voto contado pertenece al primer candidato con probabilidad a /( a  +  b ) y al segundo con probabilidad b /( a  +  b ). Obtenemos que la probabilidad de que el primero esté por delante del segundo hasta el último voto es igual a

. El hecho de que el número de votos para el primer candidato sea estrictamente mayor que para el segundo después del último voto está asegurado por la condición p = a  >  b = q .

Por lo tanto, el teorema es cierto para todo p y q tal que p  >  q  > 0.

Notas

1. ↑ D. André, Solution directe du problème résolu par M. Bertrand, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, París 105 (1887) 436-437.

Enlaces

• El problema de la boleta, Mark Renault