Teorema de Bochner-Khinchin

El teorema de Bochner-Khinchin - en la teoría de la probabilidad: un teorema sobre las condiciones necesarias y suficientes para que una función sea característica ; en la teoría de procesos aleatorios: un teorema sobre las propiedades de la función de correlación de procesos estacionarios.

Teoría de la probabilidad

Redacción

Sea una función continua y . Para que una función sea característica es necesario y suficiente que sea una función definida no negativa, es decir, para todo número entero , para todo número real y todo número complejo , se cumple la desigualdad [1] . ${\ estilo de visualización \ varphi (u)}$ $u\en R^{n}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (0) = 1}$ ${\ estilo de visualización \ varphi (u)}$ $m>0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2},...,u_{m))$ ${\displaystyle z_{1},z_{2},...,z_{m))$ $\sum_{i,j=1}^{m}\varphi (u_{i}-u_{j})z_{i}{\bar {z_{j))}\geqslant 0$

Aquí significa el complejo conjugado de un número. ${\ estilo de visualización {\ bar {z_ {j}}}}$ ${\ Displaystyle z_ {j}}$

Teoría de los procesos aleatorios

Redacción

Sea un proceso ampliamente estacionario con una función de correlación [2] . $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ $segundo(t)$

Si es un proceso escalar en tiempo discreto , entonces: $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{en el caso de un proceso complejo ))\\\int _{0}^{\pi }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right], &{\ mbox{en caso de un proceso válido}}\end{casos}}$

donde es una función no decreciente no negativa determinada de forma única, si requerimos eso y es continua por la derecha, es una función real par no decreciente de variación acotada, es una función impar real de variación acotada. ${\ estilo de visualización F (\ lambda)}$ $segundo(t)$ ${\ estilo de visualización F (- \ pi) = 0}$ ${\ estilo de visualización F (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización C (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización Q (\ lambda)}$

Si es un proceso vectorial con tiempo discreto , entonces for se representa como un proceso escalar con tiempo discreto, donde es una matriz cuyos incrementos son hermitianos y no están definidos negativamente, es una matriz simétrica real, cuyos incrementos no están definidos negativamente, es una matriz asimétrica real. La matriz está determinada únicamente por , si requerimos que (matriz cero) y sea continua a la derecha (en el sentido de convergencia de elementos). $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ $segundo(t)$ ${\ estilo de visualización F (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle F (\ lambda _ {1}) -F (\ lambda _ {2}), \ lambda _ {1} \ geqslant \ lambda _ {2}}$ ${\ estilo de visualización C (\ lambda)}$ ${\ Displaystyle C (\ lambda _ {1}) - C (\ lambda _ {2}), \ lambda _ {1} \ geqslant \ lambda _ {2}}$ ${\ estilo de visualización Q (\ lambda)}$ ${\ estilo de visualización F (\ lambda)}$ $segundo(t)$ ${\ estilo de visualización F (- \ pi) = 0}$ ${\ estilo de visualización F (\ lambda)}$

Si es un proceso escalar en tiempo continuo , entonces: $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$

$B(t)={\begin{cases}\int _{-\infty }^{\infty }e^{i\lambda t}dF(\lambda ),&{\mbox{en el caso de un proceso complejo ))\\\int _{0}^{\infty }\left[\cos(\lambda t)dC(\lambda )+\sin(\lambda t)dQ(\lambda )\right], &{\ mbox{en caso de un proceso válido}}\end{casos}}$

donde las funciones se definen de la misma forma que en el caso de un proceso escalar con tiempo discreto, excepto por la condición . ${\ estilo de visualización F (\ lambda), C (\ lambda), Q (\ lambda)}$ $F(-\infty)=0$

Si es un proceso vectorial con tiempo continuo , entonces para existen representaciones como en el caso de un proceso escalar en tiempo continuo, donde las matrices se definen de la misma forma que en el caso de un proceso vectorial en tiempo discreto, excepto por la condición (matriz cero). $\left\{\xi (t),t\in T\right\}$ $segundo(t)$ ${\ estilo de visualización F (\ lambda), C (\ lambda), Q (\ lambda)}$ $F(-\infty)=0$

Véase también

Función característica de una variable aleatoria

Notas

↑ Korolyuk V.S. , Portenko N.I., Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Manual de teoría de la probabilidad y estadística matemática. - M., Nauka, 1985. - pág. sesenta y cinco
↑ Korolyuk V.S. , Portenko N.I., Skorokhod A.V. , Turbin A.F. Manual de teoría de la probabilidad y estadística matemática. - M., Nauka, 1985. - pág. 245-246