Teorema de la secuencia creciente acotada de Weierstrass

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El teorema de Weierstrass sobre una sucesión creciente acotada por arriba (o una sucesión decreciente acotada por abajo) establece que cualquier sucesión monótonamente creciente (o monótonamente decreciente) acotada por arriba tiene un límite, y este límite es igual a su mayor superior (o inferior) vinculado. A pesar de la transparencia y obviedad de la demostración, este teorema resulta muy conveniente para encontrar los límites de muchas sucesiones, o al menos probar su existencia.

Redacción

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Prueba

Sea una sucesión creciente acotada. Entonces el conjunto está acotado, por tanto, por el teorema del supremo , tiene un supremo . Lo denotaremos por . entonces _ En efecto, dado que es el supremo del conjunto , entonces para cualquiera existe un número tal que . Entonces para cualquiera tenemos: . Luego en . Por lo tanto, . El teorema ha sido probado. [una] ${x_n}$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $S$ $\lim_{n \a \infty} x_n = S$ $S$ $\{x_n\}_{n\in\N}$ $\varepsilon >0$ $norte$ $S-\varepsilon <x_N\leqslant S$ $n>N$ $S-\varepsilon <x_{N}\leqslant x_{n}\leqslant S<S+\varepsilon$ $\izquierda | {x_n-S} \right |<\varepsilon$ $n>N$ $\lim_{n \a \infty} x_n = S$

Notas

↑ Zorich, págs. 101-102

Literatura

Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. M.: Nauka, 1981. 544 p.