Secuencia monótona

Una sucesión monótona es una sucesión cuyos elementos no disminuyen al aumentar el número o, por el contrario, no aumentan. Tales secuencias se encuentran a menudo en la investigación y tienen una serie de características distintivas y propiedades adicionales. Una secuencia de un número no puede considerarse ascendente o descendente.

Definiciones

Sea un conjunto en el que se introduce la relación de orden . $X$

Una secuencia de elementos de un conjunto se llama no decreciente si cada elemento de esta secuencia no excede al siguiente. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- no decreciente

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1))

Una secuencia de elementos de un conjunto se llama no creciente si cada siguiente elemento de esta secuencia no excede al anterior. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- no creciente

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1))

Una secuencia de elementos de un conjunto se dice creciente si cada siguiente elemento de esta secuencia excede al anterior. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- aumentando

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1))

Una secuencia de elementos de un conjunto se llama decreciente si cada elemento de esta secuencia excede al siguiente. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- decreciente

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1))

Una sucesión se llama monótona si es no decreciente o no creciente. [una]

Una secuencia se llama estrictamente monótona si es creciente o decreciente.

Obviamente, una secuencia estrictamente monótona es monótona.

A veces se utiliza una variante de la terminología, en la que el término "secuencia creciente" se considera sinónimo del término "secuencia no decreciente", y el término "secuencia decreciente" se considera sinónimo del término "secuencia no decreciente". secuencia creciente". En tal caso, las secuencias crecientes y decrecientes de la definición anterior se denominan "estrictamente crecientes" y "estrictamente decrecientes", respectivamente.

Intervalos de monotonicidad

Puede resultar que las condiciones anteriores no se cumplan para todos los números , sino solo para los números de un cierto rango $n\in {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(aquí el límite derecho se puede girar al infinito). En este caso, la secuencia se llama monótona en el intervalo y el rango en sí se llama intervalo de monotonicidad de la secuencia. ${\ estilo de visualización N_ {+))$ $yo$ $yo$

Ejemplos

La secuencia de los números naturales .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Tramos iniciales: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cpuntos)$
- Secuencia creciente.
- Consta de números naturales.
- Limitado desde abajo, no limitado desde arriba.

secuencia de Fibonacci .
- $x_{n}={\begin{casos}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{casos} }$
- Tramos iniciales: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cpuntos)$
- Secuencia no decreciente.
- Consta de números naturales.
- Limitado desde abajo, no limitado desde arriba.

Progresión geométrica con base . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Tramos iniciales: . ${\ estilo de visualización (1.1/2.1/4.1/8.1/16, \ cdots)}$
- Secuencia descendente.
- Consta de números racionales .
- Limitado en ambos lados.

Una sucesión que converge al número e .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Tramos iniciales: . ${\ estilo de visualización (2.9/4.64/27.625/256, \ cdots)}$
- Secuencia creciente.
- Consta de números racionales , pero converge a un número trascendental .
- Limitado en ambos lados.

La secuencia de números racionales de la forma no es monótona. Sin embargo, es (estrictamente) decreciente en el intervalo y (estrictamente) creciente en el intervalo . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\in {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Propiedades

Limitación.
- Cada secuencia no decreciente está acotada desde abajo.
- Toda sucesión no creciente está acotada desde arriba.
- Cada secuencia monótona está limitada en al menos un lado.

Una sucesión monótona converge si y sólo si está acotada en ambos lados ( Teorema de la sucesión monótona acotada de Weierstrass ).
- Una sucesión convergente no decreciente está acotada superiormente por su límite .
- Una sucesión no creciente convergente está acotada por debajo por su límite.

Notas

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Capítulo 3. Teoría de Límites // Análisis Matemático / Ed. A. N. Tijonova . - 3ra ed. , revisado y adicional - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Véase también

función monótona