Teorema de Gauss-Luc

Para un polinomio arbitrario con coeficientes complejos que no es idénticamente constante , el conjunto de ceros de su derivada pertenece a la envolvente convexa de ceros del polinomio . $P(z)$ ${\ estilo de visualización P' (z)}$ $P(z)$

Acerca de la prueba

La demostración del teorema se basa en el siguiente enunciado fácilmente verificable: si todas las raíces del polinomio están en el semiplano , entonces la desigualdad es verdadera en la región: $P(z)$ ${\ estilo de visualización {\ rm {Re}} \, z <0}$ ${\ estilo de visualización {\ rm {Re}} \, z \ geq 0}$

{\rm {Re}}\,{P'(z) \sobre P(z)}>0

de donde se sigue que todas las raíces de la derivada también deben estar en el semiplano . ${\ estilo de visualización {\ rm {Re}} \, z <0}$