Derivada (matemáticas)

La derivada es un concepto matemático fundamental utilizado en diversas variaciones (generalizaciones) en muchas ramas de las matemáticas. Es la construcción básica del cálculo diferencial , que permite muchas variantes de generalizaciones utilizadas en cálculo , topología y geometría diferenciales y álgebra .

Lo común entre varias variaciones y generalizaciones es que la derivada del mapeo caracteriza el grado de cambio en la imagen del mapeo con un cambio (infinitamente) pequeño en el argumento. Dependiendo de las estructuras matemáticas que se consideren, se especifica el contenido de este concepto.

Se conocen alrededor de 20 generalizaciones del concepto de derivada solo para el caso de espacios lineales topológicos. [una]

Derivada de una función de una variable

Definición básica

La derivada de una función en un punto se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero: $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim _({\Delta x\rightarrow 0)){\frac {\Delta f}{\Delta x))

, donde .

\Delta x=x-x_{0},\ \Delta f=f(x)-f(x_{0})

Gráficamente, esta es la pendiente de la tangente en un punto a la curva que representa la función . $x_{0}$ $f(x)$

Para cambios suficientemente pequeños en el argumento, la igualdad se cumple . En el caso general, es esta forma de definición la que se toma como base para generalizar el concepto de derivada. $dx$ $df=f'(x_{0})dx$

Derivadas unilaterales

También se definen las derivadas unilaterales, donde se utiliza el límite unilateral ( zurdo y derecho ) en lugar del límite correspondiente . La derivada de la derecha o la derivada de la derecha se denota con los símbolos . La derivada de la izquierda o la derivada de la izquierda se denota con los símbolos . Una derivada ordinaria existe si y solo si hay derivadas unilaterales iguales (su magnitud es igual a la derivada). $f^{+}(x_{0}),\ f'_{+}(x_{0}),\ {\mathrm {D}}^{+}\!f(x_{0})$ $f^{-}(x_{0}),\ f'_{-}(x_{0}),\ \mathrm {D} ^{-}\!f(x_{0})$

Derivados de órdenes superiores

Dado que la derivada de una función de una variable también es una determinada función de una variable, podemos considerar la derivada de la derivada: la segunda derivada y, en general, la derivada de cualquier orden (algún número natural). $norte$

Derivadas de funciones de varias variables

Derivadas parciales

En el caso de funciones de varias variables: , en primer lugar, se determinan las llamadas derivadas parciales - derivadas con respecto a una de las variables, siempre que los valores de las otras variables sean fijos: $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

${\frac {\parcial f(\mathbf {x} )}{\parcial x^{i}}}=\lim _{x^{i}\rightarrow x_{0}^{i}}{ \frac{f(x^{1},...,x^{i},...,x^{n})-f(x_{0}^{1},...,x_{0 }^{i},...,x_{0}^{n})}{x^{i}-x_{0}^{i}}}$

Gradiente

La derivada real (teniendo en cuenta los cambios en el vector de variables como un todo, es decir, todas las variables) en el caso de funciones de varias variables es el llamado gradiente de la función, un vector cuyos componentes son derivados parciales:

$f'(\mathbf {x} )=\mathbf {grado} f(\mathbf {x} )=\nabla f={\frac {df(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x } } }}=\left({\frac {\parcial f}{\parcial x_{1}}},{\frac {\parcial f}{\parcial x_{2}}},...,{\ frac {\f parcial}{\x_{n))}\right)$

Por analogía con el caso de una variable, para pequeños cambios en el vector de variables , se cumple la siguiente igualdad: $d\mathbf {x} =(dx_{1},dx_{2},...,dx_{n})$ $\mathbf{x}$

$df({\mathbf {x}})=f'({\mathbf {x_{0}}})d{\mathbf {x}}=\sum_{{i=1}}^{n}{\ frac {\f parcial}{\x parcial^{i))}dx^{i}$

Derivada direccional

En el caso de funciones de varias variables, se puede definir una derivada direccional , es decir, suponiendo que las variables cambian en una dirección dada. La derivada de una función con respecto a la dirección del vector se define como sigue: $F$ $\matemáticas {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({\mathbf {x}} _ {0}+t{\mathbf {e}})-f({\mathbf {x}}_{0})}{t}}$

Si la dirección coincide con la dirección de algún eje de coordenadas, entonces la derivada a lo largo de esta dirección es de hecho la derivada parcial correspondiente. Se puede demostrar que la derivada direccional es igual al producto escalar del vector gradiente y el vector de dirección normalizado (es decir, un vector de dirección de longitud unitaria, que se puede obtener a partir de cualquier vector de dirección dividiendo por su longitud): $\matemáticas {e}$ $\matemáticas {e}$

$f'_{{\mathbf {e}}}({\mathbf {x}}_{0})=(f'({\mathbf {x}}_{0}),{\mathbf {e}} )$

Derivados de órdenes superiores

Por analogía con el caso de las funciones de una variable, se pueden considerar derivadas parciales de orden arbitrario. Además, en este caso, puede usar la misma variable varias veces y varias variables al mismo tiempo:

${\frac {\parcial ^{k}f}{\parcial x_{1}^{{k_{1}}}\parcial x_{2}^{{k_{2}}},...,\parcial x_{n}^{{k_{n}}}}}$ , dónde $\sum k_{i}=k$

El análogo de la segunda derivada en el caso de una función de varias variables es la matriz de segundas derivadas parciales, la matriz hessiana , que es la derivada de una función vectorial (ver más abajo), el gradiente de una función escalar. Los elementos de esta matriz son las segundas derivadas . ${\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{i}\parcial x^{j))}$

Derivada total

En muchos casos, se hace necesario evaluar la dependencia de una función de un cambio en una variable dada en una situación donde otras variables cambian de cierta manera dependiendo de , es decir, un cambio en esta variable afecta el valor de la función tanto directamente (que se expresa mediante una derivada parcial) e indirectamente a través de un cambio en otras variables. La influencia total se expresa en términos de la derivada total : $F$ $x^{j}$ $x^{j}$ $F$

${\frac {df}{dx^{j}}}=\sum_{{i=1}}^{n}{\frac {\parcial f}{\parcial x^{i}}}{\frac {\parcial x^{i}}{\parcial x^{j}}}$

En el caso general, uno puede considerar la trayectoria de las variables independientes en la forma paramétrica , donde es algún parámetro (en física, esto suele ser el tiempo). Entonces podemos considerar la derivada total con respecto a este parámetro: $x^{i}(t)$ $t$

${\frac {df}{dt}}=\sum_{{i=1}}^{n}{\frac {\parcial f}{\parcial x^{i}}}{\frac {dx^{ yo}}{dt}}$

En este caso, una de las variables puede actuar como parámetro . $t$ $x^yo$

La derivada de Lagrange tiene en cuenta los cambios debidos a la dependencia del tiempo y al movimiento a través del espacio a lo largo de un campo vectorial.

Un conjunto de funciones de varias variables

Un conjunto de funciones de varias variables se puede interpretar como una función vectorial: . La derivada de tal función es la llamada matriz de Jacobi , cuyas filas son los gradientes de las funciones que componen el conjunto , es decir, el elemento de la -ésima fila y la -ésima columna es igual a la derivada parcial. de la función con respecto a la variable : $\mathbf {F}$ $f_{i}$ ${\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $j$ $f_{i}$ $\mathbf {F}$ $i$ $j$ $f_{i}$ $x^{j}$

$J_F=\mathbf{F}'(\mathbf{x}_0)=\left[\frac {\parcial f_i}{\parcial x^j}\right]$

Por analogía con las funciones escalares, para pequeños cambios en el vector de argumentos , la igualdad es verdadera: $d{\mathbf{x}}$

$d{\mathbf {F}}={\mathbf {F}}'({\mathbf {x}}_{0})d{\mathbf {x}}$

Un caso especial de la derivada de una función vectorial es la derivada del gradiente de alguna función escalar , ya que el gradiente es en realidad un vector de varias funciones derivadas parciales. Esta derivada, como se señaló anteriormente, es esencialmente la segunda derivada de una función escalar y es una matriz de derivadas parciales de segundo orden de esta función: la matriz hessiana ( ) o la hessiana (la hessiana generalmente se denomina determinante de la hessiana). matriz). $F$ $H_{f}$

Derivados de mapeos de espacios lineales arbitrarios

Generalización preliminar

Una función escalar de varias variables se consideró formalmente anteriormente como una función de un vector cuyos componentes son variables independientes. En el caso general, se deben considerar funciones escalares (numéricas) en espacios vectoriales arbitrarios de alguna dimensión. Entonces, en cada base fija, tal mapeo puede considerarse como una función de varias variables. Así, todos los conceptos considerados anteriormente pueden interpretarse como definiciones coordinadas de derivadas para una base fija de un espacio arbitrario (dotado de una estructura topológica suficiente para estos fines). $f:X\flecha derecha R$ $X$

De manera similar, los valores de un conjunto de funciones también se consideraban formalmente componentes de algún vector, y este conjunto de funciones se trataba (formalmente) como un mapeo de un vector a otro. En el caso general, se debe considerar un mapeo entre espacios vectoriales arbitrarios y de diferente dimensión y naturaleza (dotados de la estructura topológica necesaria). Si fijamos bases en ambos espacios, entonces este mapeo es análogo al conjunto de funciones de varias variables consideradas anteriormente. Así, todas las definiciones correspondientes se interpretan en el caso general como la definición coordinada de derivadas bajo bases fijas de los espacios correspondientes. $F:X\flecha derecha Y$ $X$ $Y$

Esta interpretación significa al mismo tiempo que a pesar de que la representación coordinada de las derivadas depende de la base (cambian al pasar de una base a otra), los conceptos de las propias derivadas no deberían depender de la elección de las bases. Por lo tanto, en términos generales, se requieren definiciones más generales de derivadas que no estén directamente relacionadas con la elección de una base y su representación coordinada. Además, estas definiciones se generalizan al caso de espacios de dimensión infinita, que se utiliza, por ejemplo, en el análisis funcional y el cálculo de variaciones.

Derivado de pastel

La noción bastante general de derivada se considera en el análisis funcional , donde el concepto de derivada direccional se generaliza a espacios vectoriales topológicos localmente convexos arbitrarios . La derivada correspondiente suele denominarse derivada de Gateaux o derivada débil. La definición de la derivada Gateaux es esencialmente la misma que la derivada direccional para el caso de una función de varias variables:

$f'_{{e}}({x}_{0})=\lim _{{t\rightarrow 0}}{\frac {f({x}_{0}+t{e})-f ({x}_{0})}{t}}$

Derivado de Fréchet

En el caso de los espacios de Banach , se define la derivada de Fréchet o la derivada fuerte . La derivada de Fréchet de una aplicación es un operador lineal para el que se cumple la siguiente igualdad: $F:X\flecha derecha Y$ $F'$

$\lim _{{||h||_{X}\rightarrow 0}}{\frac {||F(x+h)-F(x)-F'(x)h||_{Y}} {||h||_{X}}}=0$ ,

Esto significa que para cambios suficientemente pequeños (según la norma del espacio ) en el argumento, el cambio converge (según la norma del espacio Y) a , que se puede escribir formalmente como una igualdad: $X$ $dx$ $X$ $DF$ $F'(x)dx$

d F ( X ) = F ′ ( X ) d X {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx} $dF(x)=F'(x)dx$

Si esta derivada existe, entonces coincide con la derivada de Gateaux. Para espacios de dimensión finita en la representación de coordenadas es la matriz jacobiana, y si , entonces es el gradiente de la función escalar. $F'(x)$ $Y=R$

Derivada variacional

En el cálculo de variaciones , donde se consideran funcionales integrales sobre el espacio de funciones, en el que se introduce el producto escalar (en forma de integral de un par de funciones), se adopta el concepto de derivada variacional , también llamada derivada funcional . introducido La derivada variacional de una funcional es una función (generalmente hablando, una función generalizada ) para la cual, con una pequeña variación de la función , se cumple la siguiente igualdad: $F(f)$ $\delta F/\delta f$ $\ delta f$ $F$

d F = F ( F + d F ) − F ( F ) = ( d F / d F , d F ) = ∫ d F ( F ( X ) ) d F d F ( X ) d X {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx} $\delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx$

Se puede demostrar que, en esencia, la derivada variacional es la derivada de Fréchet.

Derivada con respecto a la medida

En la teoría de la medida , la derivada de Radon-Nikodim generaliza el jacobiano utilizado para variar variables a medidas. Expresa una medida en términos de otra medida (bajo ciertas condiciones). $\mu$ $\nu$

La derivada también permite generalizaciones al espacio de distribuciones , usando la integración por partes en el subespacio apropiado bien arreglado.

Operadores diferenciales en espacios de dimensión finita

1. La divergencia (divergencia) de funciones con valores vectoriales (campos vectoriales ) en un espacio de dimensión finita , da una medida de qué tan fuerte es la "fuente" o el "sumidero" en este punto. Se puede usar para calcular el flujo usando el teorema de la divergencia . En la representación de coordenadas (en coordenadas cartesianas), la divergencia es $F:X\flecha derecha X$ $X$

$\operatorname {div}{\mathbf {F}}=\sum_{{i=1}}^{n}{\frac {\parcial F_{{x^{i}}}}{\parcial x^{ i}}}$

2. El rotor de campos vectoriales en el espacio tridimensional mide la "rotación" del campo vectorial en este punto. En representación de coordenadas (en coordenadas cartesianas) es: $\mathbb{R} ^{3}$ $\operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y }+F_{z}\mathbf {e} _{z})=\left({\frac {\parcial F_{z)){\parcial y))-{\frac {\parcial F_{y)){ \parcial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\parcial F_{x}}{\parcial z}}-{\frac {\parcial F_{z}} {\parcial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\parcial F_{y}}{\parcial x}}-{\frac {\parcial F_{x} {\parcial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.$

( F es un campo vectorial con componentes cartesianas , y son orts de coordenadas cartesianas) ${\ estilo de visualización (F_{x},F_{y},F_{z})}$ $\mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z$

3. El laplaciano es la divergencia (divergencia) del gradiente de una función escalar (campo escalar) sobre un espacio de dimensión finita. A menudo denotado como o como . En representación de coordenadas (en coordenadas cartesianas) es: $\Delta$ $\ nabla ^ {2}$

$\operatorname {div}\operatorname {grad}f=\Delta f=\nabla ^{2}f=\sum_{{i=1}}^{n}{\frac {\parcial^{2}f} {\parcial x_{i}^{2))}$

4. D'Alembertiano : definido de manera similar al laplaciano, pero utilizando la métrica espacial de Minkowski , en lugar de la métrica espacial euclidiana . Considerado en física para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones. En representación de coordenadas (en coordenadas cartesianas) es:

\square f={\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial y^{2))}+ {\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\parcial ^{2}f}{ \parcial t^{2}}}.

Derivadas en topología diferencial, geometría y análisis tensorial

Vector tangente y mapeo tangente

En topología diferencial , para funciones escalares suaves en una variedad suave (en adelante, solo una variedad y solo una función), se introduce el concepto de un vector tangente en un punto . Estas funciones forman un álgebra bajo las operaciones puntuales de suma y multiplicación y multiplicación por un número. Un vector tangente se define como un funcional lineal en el álgebra de tales funciones que satisface la regla de Leibniz . Para variedades que son subconjuntos de , este vector tangente será análogo a la derivada dirigida en el punto definido anteriormente. ${\ estilo de visualización f: M \ flecha derecha R}$ $METRO$ $p\en M$ $\mathbb{R} ^{n}$

Un operador lineal en el álgebra de funciones que satisface la regla de Leibniz es en realidad una derivación en el álgebra de estas funciones y, de hecho, determina la derivada de las funciones escalares. Dichos operadores lineales en el álgebra de funciones escalares forman un campo vectorial en la variedad. Este campo vectorial también se puede definir como un mapeo que asigna a cada punto de la variedad un vector tangente a ese punto.

El conjunto de todos los vectores tangentes a un punto dado de la variedad forman un espacio tangente a un punto dado . $T_{p}M$

Para aplicaciones suaves de variedades de dimensiones arbitrarias , un diferencial en un punto es un operador lineal , que, para cualquier vector tangente , consiste en derivar una función para una función numérica arbitraria f en una variedad N. $F\dos puntos M\a N$ $p\en M$ $d_{p}F:T_{p}M\rightarrow T_{F(p)}N$ $X\en T_{p}M$ $g(p)=f(F(p))$

En la representación de coordenadas, el diferencial es una matriz jacobiana . Las bases en espacios tangentes se definen como derivadas parciales de funciones numéricas de la representación de coordenadas del punto p. $\left\{{\frac {\parcial F_{i}}{\parcial x_{j}}}\right\}$

La unión de todos los espacios tangentes (considerados como conjuntos disjuntos) para todos los puntos de la variedad se llama paquete tangente de la variedad (tiene dimensión 2n, ya que un paquete tangente es esencialmente un conjunto de pares: un punto y un vector tangente a eso). Más precisamente, un paquete tangente es una aplicación del espacio TM en una variedad M. Una aplicación tangente ( eng. pushforward ) es una generalización del concepto jacobiano y actúa sobre los paquetes tangentes de variedades: . Los argumentos de visualización de la tangente son un punto y un vector . Para un punto fijo , el mapeo es el diferencial anterior en un punto: un mapeo lineal de espacio tangente a espacio tangente . $TM$ $dF\dos puntos\,TM\a TN$ $p\en M$ $\xi \inTM$ $p\en M$ $dF(x,\cdot )\colon \,T_{x}M\to T_{\varphi (x)}N$ $T_{p}$ $T_{F(p)}N$

Un campo vectorial en una variedad es una aplicación de la variedad M en TM, es decir, que asigna a cada punto de la variedad un vector tangente a este punto. El campo vectorial se puede considerar como una sección de un paquete tangente: una aplicación de M en TM. Los campos vectoriales también se pueden considerar como una derivación de un álgebra de funciones, asignando cada función del álgebra a otra función de la misma álgebra. Este es un mapeo lineal que satisface la regla de Leibniz.

Para variedades de Riemann, el gradiente de una función escalar f se define como un vector espacial tangente tal que para cualquier vector tangente X, el diferencial de la función es igual al producto escalar . En la representación de coordenadas, esta es la convolución de la métrica espacial por las derivadas parciales de la función: $\ nabla f$ $T_{x}M$ $(d_{x}f)X=Xf=(\nabla f,X)$ ${\ estilo de visualización \ nabla f = g ^ {ij} \ parcial _ {i} f}$

Derivado de mentira

La derivada de Lie es la tasa de cambio de un campo tensorial (en particular, un campo escalar o vectorial) en la dirección de un campo vectorial dado. En el caso de un campo escalar, la derivada de Lie coincide con la derivada direccional . Para campos vectoriales, la derivada de Lie es igual al llamado corchete de Lie . Este es un ejemplo de la aplicación del corchete de Lie (los campos vectoriales forman un álgebra de Lie en el grupo de difeomorfismo de una variedad). Esta es la derivada de orden 0 en álgebra.

Derivados externos e internos

En el álgebra externa de formas diferenciales sobre una variedad suave , la derivada externa es una aplicación lineal única que satisface la versión ordinal de la ley de Leibniz y es cero cuando se eleva al cuadrado. Esta es la derivada de primer orden en el álgebra externa.

La derivada interna es la derivada "-1" del orden en el álgebra externa de formas. Juntas, la derivada externa, la derivada de Lie y la derivada interna forman una superálgebra de Lie .

Derivada covariante

En geometría diferencial (y el análisis tensorial resultante ), con la ayuda de una derivada covariante, las derivadas se toman en las direcciones de campos vectoriales a lo largo de curvas o, en general, en un sistema de coordenadas curvilíneas. Esto extiende la derivada direccional de funciones escalares a secciones de paquetes vectoriales o paquetes principales . En la geometría de Riemann , la existencia de una métrica permite hacer una elección canónica de una derivada covariante libre de torsión conocida como conexión Levi-Civita .

Para funciones escalares, la derivada covariante es la misma que la derivada con respecto a la dirección del campo vectorial. La derivada covariante de un campo vectorial con respecto a un campo vectorial se puede definir formalmente como una aplicación que es F-lineal en (es decir, en suma y multiplicación por una función escalar), aditividad en y la regla estándar de Leibniz para el producto de un campo escalar y un campo vectorial . En el caso general de campos tensoriales, se requiere la regla de Leibniz para su producto tensorial. $F$ $D_{v}f$ $v$ $tu$ $v$ $v$ $tu$ $F$ $tu$

En el caso de un campo vectorial, la derivada covariante en representación de coordenadas se puede escribir como:

D_{j}u^{i}=\parcial _{j}u^{i}+\Gamma _{{kj}}^{i}u^{k}

donde es la derivada parcial ordinaria con respecto a la coordenada , y son los símbolos de Christoffel . $\parcial _{j}u^{i}$ $x^{j}$ $\Gamma _{{kj}}^{i}$

En el caso de las coordenadas cartesianas, los símbolos de Christoffel son cero, por lo que la derivada covariante es igual a la derivada ordinaria.

La derivada covariante externa extiende la derivada externa a formas con valores vectoriales.

Derivada en otras ramas de las matemáticas

Derivadas en análisis complejo

En el análisis complejo (análisis de funciones de variables complejas), los objetos centrales de estudio son las funciones holomorfas , que son funciones de valores complejos en el plano de los números complejos y satisfacen la correspondiente definición ampliada de diferenciabilidad.

La derivada de Schwartz describe cómo se aproxima una función compleja mediante un mapeo lineal-fraccional , de manera similar a cómo la derivada ordinaria describe cómo se aproxima una función mediante un mapeo lineal.

Derivadas en álgebra y geometría algebraica

Una derivación en álgebra general es una aplicación lineal en un anillo o álgebra que satisface la ley de Leibniz ( la regla del producto ). Se estudian en un entorno algebraico puro en la teoría diferencial de Galois , pero también aparecen en muchas otras áreas donde a menudo se usan con definiciones algebraicas menos rigurosas de derivadas.

En la geometría algebraica de Kahler, el diferencial permite que la definición de la derivada exterior se extienda a variedades algebraicas arbitrarias , en lugar de solo variedades suaves .

Otras generalizaciones

Es bastante posible combinar dos o más conceptos diferentes de extensión o abstracción de una derivada simple. Por ejemplo, la geometría de Finsler estudia espacios que localmente se parecen a los espacios de Banach . De esta forma es posible crear una derivada con algunas características de la derivada funcional y la derivada covariante .

En el campo de los grupos cuánticos , la -derivada es la -deformación de la derivada habitual de una función. $q$

Derivadas fraccionarias

Además de las derivadas enésimas de cualquier número natural , mediante diversos métodos, es posible introducir derivadas en potencias fraccionarias, obteniendo así las llamadas derivadas fraccionarias . Las derivadas de orden negativo corresponderán a la integración, que es de donde proviene el término diferirintegral . El estudio de varias definiciones posibles y la notación de derivados de órdenes no naturales se conoce como cálculo fraccionario . $norte$ $norte$

Necesita definición

derivado dini
cálculo matricial
Derivado de Pinkerle
Derivada paramétrica
Semi-diferenciabilidad

Véase también

Notas

↑ Frölicher, 1970 , pág. 131.

Literatura

Frölicher, A., Bucher W. Cálculo diferencial en espacios vectoriales sin norma. — M .: Mir, 1970.

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

Temas relacionados