Teorema del casco convexo de Carathéodory

El teorema de la envolvente convexa de Carathéodory establece que para cualquier punto de la envolvente convexa de un subconjunto del espacio euclidiano, existe un símplex no degenerado que lo contiene con vértices en este subconjunto.

Enunciado del teorema

Sea un conjunto compacto en el espacio euclidiano bidimensional . Entonces cualquier punto en el casco convexo es una combinación convexa de la mayoría de los puntos en el conjunto [1] [2] . Eso es $A$ $metro$ $X$ $A$ ${\ estilo de visualización m + 1}$ $A$

\operatorname {Conv} A=\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}:x=\sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}x_ {i},\quad x_{i}\in A,\quad \lambda _{i}\geqslant 0,\quad \sum _{i=1}^{m+1}\lambda _{i}=1 ,\quad i=1,\ 2,\ \dots ,\ m+1\right\}

Resultados relacionados

En el caso de que una de las coordenadas de un punto alcance un valor extremo (para el conjunto A ), este punto se puede representar como una combinación convexa de no más de m puntos A [1] . $x\in \operatorname {Conv} A$

El teorema de Helly [1] también está relacionado con el teorema del casco convexo de Carathéodory .

El casco convexo de un conjunto compacto es compacto. Esta declaración también se llama a veces el teorema de Carathéodory. [3]

Notas

↑ 1 2 3 Yudin, 1974 , pág. 22
↑ Shikin E. V. Espacios lineales y asignaciones. - M., Universidad Estatal de Moscú , 1987. - c. 176
↑ § 1 Cascos convexos. Lema y teorema de Carathéodory . Fecha de acceso: 9 de diciembre de 2014. Archivado desde el original el 5 de marzo de 2016. (indefinido)

Literatura

Yudin D. B. Métodos matemáticos de control en condiciones de información incompleta. - M. : "Radio Soviética", 1974. - 400 p.