Teorema de helly

El teorema de Helly es un resultado clásico de la geometría combinatoria y el análisis convexo . El teorema da una condición sobre una familia de conjuntos convexos que garantiza que esta familia tiene una intersección no vacía.

Formulaciones

Familias finitas

pretendamos que

X_{1},X_{2},\puntos,X_{n}

es una familia finita de subconjuntos convexos del espacio euclidiano tales que la intersección de cualquiera de ellos no es vacía. $\mathbb{R} ^{d}$ $d+1$

Entonces la intersección de todos los subconjuntos de esta familia no es vacía, es decir,

\bigcap _{j=1}^{n}X_{j}\neq \emptyset

. [una]

Familias infinitas

Para familias infinitas, debemos exigir adicionalmente compacidad:

Sea una familia arbitraria de subconjuntos compactos convexos tal que la intersección de cualquiera de ellos no sea vacía. Entonces la intersección de todos los subconjuntos de esta familia no está vacía. ${\ estilo de visualización \ {X_ {\ alfa}} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $d+1$

Consecuencias

Teorema de Young: Sea un conjunto finito de puntos en un espacio euclidiano bidimensional tal que cualquier punto pueda ser cubierto por la bola unitaria. Entonces todo el conjunto puede ser cubierto por la bola unitaria. $S$ $d$ $\mathbb{R} ^{d}$ $d+1$ $S$ $S$
Radio de Young: Sea un conjunto de puntos en el espacio euclidiano bidimensional , con diámetro . Entonces existe una bola cerrada bidimensional de radio tal que . Si el conjunto no pertenece a ninguna bola más pequeña, entonces contiene vértices : un símplex con cada longitud de borde . [2] $X$ $d$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $\mathrm {diámetro} \,X\leqslant 2$ $d$ ${\ estilo de visualización B ^ {d} (r)}$ $r={\sqrt {2d/(d+1)))$ $X\subconjunto B^{d}(r)$ $X$ $X$ $d$ $2$
teorema de kirschbrown

Variaciones y generalizaciones

Sea un espacio de Hilbert (no necesariamente separable ) y una familia de subconjuntos convexos acotados cerrados de . Si la intersección de una subfamilia finita arbitraria no es vacía, entonces tampoco lo es. $H$ $X_{\alfa}$ $H$ $X_{\alfa}$ ${\ estilo de visualización \ cap _ {\ alfa} X_ {\ alfa}}$

Historia

El teorema fue probado por Eduard Helly en 1913, sobre lo cual le dijo a Radon , lo publicó recién en 1923 [3] , después de las publicaciones de Radon [4] y König [5] .

Véase también

Notas

↑ Shikin E. V. Espacios lineales y asignaciones. - M., Universidad Estatal de Moscú , 1987. - p. 177
↑ Shikin E. V. Espacios lineales y asignaciones. - M., Universidad Estatal de Moscú , 1987. - p. 293
↑ E. Helly Über Mengen konvexer Körper mit gemeinschaftlichen Punkten (enlace inaccesible) , - Jber. Alemán. Matemáticas. Verinig. 32 (1923), 175-176.
↑ J. Radon Mengen konvexer Körper, die einen gemeinsamen Punkt enthalten (enlace inaccesible) , - Math. Ana. 83 (1921), 113-115.
↑ D. König Über konvexe Körper, - Matemáticas. Z. 14 (1922), 208-220.

Literatura

Danzer L., Grünbaum B. , Klee W. El teorema de Helly y sus aplicaciones. - M. : Mir, 1968. - 159 p.