Teorema de Carathéodory-Toeplitz

El teorema de Carathéodory-Toeplitz es un teorema de análisis matemático que lleva el nombre de los matemáticos Constantin Carathéodory y Otto Toeplitz :

Sea el círculo unitario en el plano complejo ${\ estilo de visualización \ Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} .}$

El conjunto de todas las funciones con una parte real positiva y una normalización que mapea un círculo al semiplano derecho se denomina clase de Carathéodory y se denota por $h(z)$ $\Delta$ ${\ estilo de visualización h (0) = 1,}$ $\Delta$ $C.$

Carathéodory y Toeplitz resolvieron el problema de la descripción exacta del conjunto de valores del sistema de coeficientes donde en la clase $(\{h\}_{1},\ldots,\{h\}_{n}),$ ${\ estilo de visualización n \ en \ mathbb {N},}$ $C.$

El conjunto de valores del sistema de coeficientes de la clase es un conjunto acotado convexo cerrado de puntos del espacio euclidiano complejo -dimensional para el cual los determinantes $(\{h\}_{1},\ldots,\{h\}_{n}),$ $n\in {\mathbb N}$ $C$ $K_n$ $norte$ ${\matemáticas C}^{n}$

\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k)),\qquad 1\leqslant k\leqslant n,

dónde

a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{ji},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij))} ,\quadj<i,

o todos son positivos, o son positivos hasta cierto número, a partir del cual son iguales a cero. Este último caso corresponde a que el punto pertenece a la frontera del cuerpo de coeficientes, cada punto frontera de este cuerpo corresponde a una sola función de la clase, que tiene la forma de una combinación lineal convexa $(\{h\}_{1},\ldots,\{h\}_{n})$ ${\displaystyle \parcial K_{n))$ $K_{n}.$ ${\ estilo de visualización C,}$

h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}

con coeficientes y y para ${\ estilo de visualización \ alfa _ {\ nu},}$ ${\ estilo de visualización 1 \ leqslant k \ leqslant n}$ ${\ estilo de visualización \ varphi _ {\ nu} \ neq \ varphi _ {\ mu}}$ ${\ estilo de visualización \ mu \ neq \ nu,}$ ${\ estilo de visualización \ mu, \ nu = 1, \ ldots, n.}$

Véase también

El teorema de Carathéodory-Fejer .

Literatura

Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Estera. Di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193-217.
Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Estera. Di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191-192.