Teorema del valor medio de Cauchy

El teorema del valor medio de Cauchy es una generalización de la fórmula de incrementos finitos .

Redacción

Sean dos funciones y dadas tales que:

1. y son definidas y continuas en el intervalo ;
2. derivadas y son definidas y finitas en el intervalo ;
3. la derivada no se anula en el intervalo (por lo tanto, por el teorema de Rolle , ).

Entonces existe para lo cual es verdadero:

Notas

• Habiendo requerido explícitamente eso , podemos debilitar la condición 3 y requerir solo eso y no desaparecer simultáneamente en el intervalo .
• Puede omitir la condición 3 por completo reescribiendo la fórmula de la siguiente manera: .
• Geométricamente, el enunciado se puede reformular de la siguiente manera: si y se establece la ley de movimiento en el plano (es decir, la abscisa y la ordenada se determinan a través del parámetro ), entonces en cualquier segmento de dicha curva, especificado por los parámetros y , existe un vector tangente colineal al vector desplazamiento de a .

Prueba

Para probar esto, introducimos la función

Es fácil ver que se cumplen las condiciones del teorema de Rolle. Usando este teorema, obtenemos que hay un punto en el que la derivada de la función es igual a cero:

Moviendo el segundo término de esta igualdad hacia la derecha, obtenemos una fórmula a partir de la formulación más general del teorema.

En la formulación original, queda dividir la igualdad entre y . Ambos números serán distintos de cero incluso si el requisito 3 se relaja a la ausencia de ceros comunes para y : esto se requiere explícitamente, y si , entonces

.

Pero como , se sigue que es una contradicción con la condición.

Literatura

• Teorema del valor medio de Cauchy en Encyclopedia of Mathematics