Teorema de rolle

El teorema de Rolle ( teorema de la derivada cero ) establece que

Prueba

Si la función en el intervalo es constante, entonces la declaración es obvia, ya que la derivada de la función es igual a cero en cualquier punto del intervalo.

Si no, dado que los valores de la función en los puntos límite del segmento son iguales, entonces según el teorema de Weierstrass , toma su valor mayor o menor en algún punto del intervalo, es decir, tiene un extremo local. en este punto, y por el lema de Fermat , la derivada en este punto es igual a 0.

Sentido geométrico

El teorema establece que si las ordenadas de ambos extremos de una curva suave son iguales, entonces hay un punto en la curva en el que la tangente a la curva es paralela al eje x.

Consecuencias

Si una función diferenciable se anula en diferentes puntos, entonces su derivada se anula al menos en diferentes puntos [1] , y estos ceros de la derivada se encuentran en el casco convexo de los ceros de la función original. Este corolario se verifica fácilmente para el caso de raíces reales, pero también se cumple en el caso complejo.

Si todas las raíces de un polinomio de grado n son reales, entonces las raíces de todas sus derivadas hasta e inclusive también son exclusivamente reales.

Una función diferenciable en el segmento entre sus dos puntos tiene una tangente paralela a la secante/cuerda trazada a través de estos dos puntos.

Véase también

• Teorema de Rolle generalizado
• Fórmula de incremento finito
• Teorema del valor medio de Cauchy

Notas

1. ↑ N. S. Bakhvalov, N. P. Zhidkov , G. M. Kobelkov — Métodos numéricos, p.43

Literatura

• Fikhtengol's GM Fundamentos de análisis matemático. - M. : " Nauka ", 1962. - T. 1. - S. 225. - 607 p.