Teorema de Cauchy-Poincaré

El teorema de Cauchy-Poincaré es una generalización del teorema integral de Cauchy al caso de un espacio complejo multidimensional . Fue probado por A. Poincaré en 1886.

Redacción

Sea una variedad compleja de dimensión (compleja) y sea una forma de grado holomorfa en esta variedad. Entonces la integral de sobre el límite de cualquier cadena dimensional es igual a cero: $METRO$ $norte$ $\omega$ $norte$ $\omega$ $(n+1)$ ${\ estilo de visualización \ sigma \ subconjunto M}$ ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {d \ sigma} \ omega = 0}$

Prueba

En coordenadas locales actuando en la vecindad , la forma holomorfa tiene la forma: , donde es una función holomorfa en . Dado que y es holomorfa , por lo tanto ; por las propiedades del producto exterior, obtenemos que , es decir, que la forma es cerrada. En virtud de la fórmula de Stokes, la integral de la forma cerrada sobre el límite es igual a cero: . Por lo tanto, concluimos que la integral es cero. ${\ estilo de visualización (z, {\ bar {z)))}$ ${\ estilo de visualización U \ subconjunto M}$ ${\displaystyle \omega =f(z)dz_{1}\cuña ...\cuña dz_{n))$ $F$ $tu$ ${\bar {\parcial}}f=0$ ${\displaystyle df=\parcial f=\sum_{\mu =1}^{n}{\frac {\parcial f}{\parcial z_{\mu ))}dz_{\mu ))$ $d\omega =df\cuña dz_{1}\cuña ...\cuña dz_{n}=0$ $\omega$ $\omega (d\omega =0)$ $\sigma =\parcial \sigma ^{'}$ $\int \limits _{\sigma}\omega =\int \limits _{\parcial \sigma ^{'}}d\omega =0$ ${\ estilo de visualización \ int \ límites _ {d \ sigma} \ omega = 0}$

Literatura

B. V. Shabat Introducción al análisis complejo, parte II, Funciones de varias variables, M., Nauka, 1985