Teorema integral de Cauchy

El teorema integral de Cauchy es un enunciado de la teoría de funciones de una variable compleja .

Teorema

Sea un dominio y sea la función holomorfa en y continua en la clausura de . Entonces, para algún dominio simplemente conexo y para cualquier curva de Jordan cerrada , la relación $D\subconjunto \mathbb {C}$ $f(z)$ $D$ $\overline {D}$ $A\subconjunto {\mathbb C},$ $\Gamma \subconjunto A$ $\oint \limits _{\Gamma }\,f(z)\,dz=0$

Prueba

Damos una demostración cuando el dominio es simplemente conexo y la derivada es continua. De las ecuaciones de Cauchy-Riemann se sigue que la forma diferencial es cerrada . Sea ahora un contorno liso autodisjunto cerrado dentro del dominio de la función , delimitando el dominio . Entonces por el teorema de Stokes tenemos: $D$ $F$ $f(z)\,dz$ $\Gama$ $f(z)$ $D$

\int \limits_{{\Gamma }}f(z)\,dz=\int \limits_{{\parcial D}}f(z)\,dz=\int \limits_{D}d[f (z)\,dz]=0

Generalización

También se puede probar sin supuestos adicionales sobre la continuidad de la derivada. La idea de la prueba es que basta para establecer la existencia de una antiderivada de la forma diferencial . Para hacer esto, basta probar que la integral sobre cualquier rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas es igual a cero. ${\ estilo de visualización f (z) dz}$

Si esta integral es distinta de cero e igual al número , entonces al cortar el rectángulo en 4 rectángulos iguales (nuevamente con lados paralelos a los ejes de coordenadas), el módulo integral sobre uno de los rectángulos disminuirá en un máximo de cuatro. Vamos a cortarlo y continuar con este proceso. Pero la secuencia anidada de rectángulos debe tener un punto común , en una vecindad suficientemente pequeña del cual . $a$ $pags$ $f(z)=f(p)+f'(p)(zp)+o(zp)$

Pero la integral sobre un rectángulo muy cercano de los dos primeros términos es igual a cero, y la integral del último es demasiado pequeña. La contradicción prueba el teorema.

Varios

Un converso restringido del teorema de Cauchy es el teorema de Morera . Una generalización del teorema de Cauchy al caso de un espacio complejo multidimensional es el teorema de Cauchy-Poincaré .

Véase también

Teorema de Cauchy-Poincaré

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka . - 1969, 577 páginas.