Teorema de inversión de la serie de Lagrange

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El teorema de inversión de series de Lagrange hace posible escribir explícitamente la inversa de una función analítica dada como una serie infinita. El teorema tiene aplicaciones en combinatoria.

Redacción

Sea la función analítica en el punto y . Entonces, en alguna vecindad del punto , la función inversa a él puede ser representada por una serie de la forma $f(z)$ $z_{0}$ $f'(z_{0})\neq 0$ $w_{0}=f(z_{0})$ $f^{{-1}}(w)$

f^{-1}(w)=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\left({ \ fracción {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\izquierda({\frac {z-z_{0}}{f(z)-w_{0}}}\derecha) ^ {n}\derecho)\derecho|_{z=z_{0}}(w-_{w}0)^{n}.

Aplicaciones

Serie Burman-Lagrange

La serie de Burman-Lagrange se define como la expansión de una función holomorfa en potencias de otra función holomorfa , y es una generalización de la serie de Taylor . $f(z)$ $w(z)$

Sea y sea holomorfo en una vecindad de algún punto , además, y sea un cero simple de la función . Ahora elegimos un dominio en el que y son holomorfos y univalentes en . Entonces hay una descomposición de la forma: $f(z)$ $w(z)$ $a\en \mathbb {C}$ $w(a)=0$ $a$ $w(z)$ $D\ni un$ $F$ $w$ $w$ $\overline {D}$

f(z)=\sum_{{n=0}}^{\infty}d_{n}w^{n}(z),

donde los coeficientes se calculan según la siguiente expresión: $d_{n}$

d_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits_{{\parcial D}}{\frac {f(\zeta )w'(\zeta )}{w^{ {n+1}}(\zeta )}}\,d\zeta ={\frac {1}{n!)}}\lim _{{z\to a}}{\frac {d^{{n - 1}}}{dz^{{n-1}}}}\left\{f'(z){\frac {(za)^{n}}{w^{n}(z)))\ derecho \}.

Teorema de inversión de series

Un caso particular de uso de series es el llamado problema de inversión de series de Taylor .

Considere una descomposición de la forma . Intentemos usar la expresión resultante para calcular los coeficientes de la serie : ${\displaystyle w=\sum _{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n))$ ${\displaystyle z=\sum _{n=1}^{\infty}b_{n}w^{n))$

b_{n}={\frac {1}{n!)}}\lim _{z\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}} } \left({\frac {z}{w}}\right)^{n}.

Generalizaciones

Bajo las condiciones del teorema, una superposición de la forma satisface una representación en forma de serie $F\circ f^{{-1}}$

F(f^{-1}(w))=z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\left.\ izquierda ({\frac {d^{n-1}}{dz^{n-1}}}\left(F'(z)\left({\frac {z-z_{0}}{f(z ) -w_{0}}}\derecho)^{n}\derecho)\derecho)\derecho|_{z=z_{0}}(w-w_{0})^{n}.

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

Enlaces

Weisstein, expansión de Eric W. Lagrange (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Lagrange Inversion Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Bürmann's Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Series Reversion (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Serie de Bürmann-Lagrange