Plano complejo

El plano complejo [1] es una representación geométrica del conjunto de los números complejos . $\matemáticas {C}$

Un punto en un plano real bidimensional con coordenadas representa un número complejo , donde: $\matemáticas {R} ^{2}$ $(x,y)$ $z=x+iy$

x=\mathrm {Re} \,z

es la parte real (real) del número complejo,

y=\mathrm {Im} \,z

es su parte imaginaria.

En otras palabras, un número complejo corresponde a un radio vector con coordenadas.Las operaciones algebraicas sobre números complejos corresponden a operaciones sobre sus puntos o vectores correspondientes. Así, varias relaciones entre números complejos obtienen una representación visual en el plano complejo: $z=x+iy$ $(x,y).$

la suma de números complejos corresponde a la suma de radios vectores;
la multiplicación por un número complejo corresponde a girar el radio vector por un ángulo y estirar el radio vector por un factor; $re^{i\varphi}$ $\varphi$ $r$
las raíces n-ésimas de un número se encuentran en los vértices de un n-ágono regular centrado en el origen.

Las funciones de valor complejo de una variable compleja se interpretan como aplicaciones del plano complejo en sí mismo. Las asignaciones conformes juegan un papel especial en el análisis complejo .

Conjuntos en el plano complejo

Conjuntos abiertos

El concepto fundamental de vecindad se introduce en el plano complejo de manera muy simple: la vecindad de un punto es un conjunto de la forma . Geométricamente, en el plano complejo, las vecindades tienen una forma muy simple: son simplemente círculos con un centro en ciertos puntos del plano complejo. A veces, por conveniencia, se requiere considerar barrios perforados . ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}$ $z_{0}\in {\mathbb C}$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}=\{z\colon |z-z_{0}|<r\},\,r>0$ ${\dot {{\mathcal U}}}_{{z_{0}}}={{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\setminus \{z_{0}\}$

Ahora definamos un conjunto abierto : según una de las variantes de la definición clásica de la topología general, un conjunto será abierto si alguno de sus puntos contiene parte de su vecindad. Ya tenemos la definición de la vecindad, respectivamente, el conjunto abierto no está completamente definido. $\matemáticas {C}$

Punto límite y conjunto cerrado

Tampoco será difícil determinar el punto límite : el punto será límite para el conjunto si la intersección no está vacía para un vecindario arbitrario. En otras palabras, un punto es limitante si siempre será posible encontrar puntos del conjunto en una "proximidad" arbitraria a él. El conjunto de puntos límite a veces se denomina derivada y se denota . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subconjunto \mathbb {C}$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}\cap G$ $GRAMO'$

Un conjunto se llamará cerrado si la inclusión es verdadera para él . Se ve claramente que para un conjunto arbitrario el conjunto será cerrado; se llama el cierre del conjunto . $G\subconjunto \mathbb {C}$ $G'\subconjunto G$ $GRAMO$ $\overline {G}=G\taza G'$ $GRAMO$

Borde

Un punto se llamará punto frontera del conjunto si para una vecindad arbitraria las intersecciones y no están vacías. El conjunto de todos los puntos límite se denomina conjunto límite, o simplemente límite . $z_{0}\in {\mathbb C}$ $G\subconjunto \mathbb {C}$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}\cap G$ ${{\mathcal U}}_{{z_{0}}}\cap ({{\mathbb C}}\setminus G)$ $\G parcial$

En todas partes conjuntos densos

Un conjunto se llamará denso en todas partes en otro conjunto si para un punto arbitrario y cualquier vecindad la intersección no está vacía. $E\subconjunto {\mathbb C}$ $G\subconjunto \mathbb {C}$ $z_{0}\en G$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}$ ${{\U matemática}}_{{z_{0}}}\cap E$

Conectividad

Distancia entre conjuntos

Como es sabido por las matemáticas elementales, en el plano complejo la distancia entre dos puntos es igual al módulo de su diferencia. Ahora definamos la distancia entre un punto y algún conjunto como un valor . $z_{0}$ $G\subconjunto \mathbb {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(z_{0},G)=\inf_{{z\in G}}|z-z_{0}|$

Con base en este concepto, ya es posible determinar la distancia entre dos conjuntos arbitrarios en : . $\matemáticas {C}$ ${\mathrm {dist}}\,(G_{1},G_{2})=\inf _{{z\in G_{1}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{2 })=\inf_{{z\in G_{2}}}{\mathrm {dist}}\,(z,G_{1})$

Conectividad

Un conjunto se dice conexo si cumple la relación . Si este valor no es igual a cero, entonces el conjunto se llama desconectado . Se puede demostrar que un conjunto inconexo puede representarse como una unión (finita o contable) , donde son conjuntos conexos que no se cortan, llamados componentes conexos del conjunto . La cardinalidad de un conjunto de componentes conectados se denomina orden de conectividad . $G\subconjunto \mathbb {C}$ $\inf _{{z_{1},z_{2}\en G}}|z_{1}-z_{2}|=0$ $GRAMO$ $\suma G_{n}$ $G_{n}$ $GRAMO$

Conjuntos convexos, en estrella y conectados por caminos

Se dice que un conjunto tiene forma de estrella con respecto a un punto si la inclusión se cumple para un punto arbitrario . $G\subconjunto \mathbb {C}$ $z_{0}\en G$ $z\in G$ $\overline {z_{0}z}\subconjunto G$

Un conjunto se dice convexo si tiene forma de estrella con respecto a cualquiera de sus puntos. Un conjunto se llama el casco convexo de un conjunto si es convexo, y para cualquier conjunto convexo que contenga el conjunto , la inclusión se cumple . $G\subconjunto \mathbb {C}$ $G^{*}$ $GRAMO$ $G\subconjunto G^{*}$ $G^{{**}}$ $GRAMO$ $G^{*}\subconjunto G^{{**}}$

Una línea quebrada es un conjunto de puntos del plano complejo, representado como una unión de segmentos. Un conjunto se llama conexo por caminos si para dos puntos arbitrarios existe una polilínea tal que . $\Gama$ $GRAMO$ $z_{1},z_{2}\en G$ $\Gamma \subconjunto G$ $z_{1},z_{2}\in\Gamma$

Se puede probar que cualquier conjunto conexo por caminos será conexo. Esto implica inmediatamente que todos los conjuntos convexos y en estrella están conectados.

Curvas en $\matemáticas {C}$

Curvas y caminos

Una curva o un camino en el plano complejo es un mapeo de la forma . Vale la pena señalar especialmente que con tal definición, es posible especificar no solo el tipo de curva, que dependerá de las propiedades analíticas de la función , sino también su dirección . Por ejemplo, las funciones y definirán una curva que es igual en apariencia, pero transitable en direcciones opuestas. $\matemáticas {C}$ $\varphi (t)\dos puntos [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varfi (t)$ $\varfi (t)$ $\eta (t)=\varphi (1-t)$

Homotopía de curvas

Las curvas y se denominan homotópicas si existe una curva dependiendo del parámetro de tal forma que y . $\varphi _{0}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\varphi _{1}(t)\colon [0;1]\to {\mathbb C}$ $\xi (t,q)\dos puntos [0;1]\times [0;1]\to {\mathbb C}$ $q$ $\xi (t,0)\equiv \varphi _{0}$ $\xi (t,1)\equiv \varphi _{1}$

Geometría analítica en el plano complejo

El estudio de las figuras planas a menudo se facilita si se trasladan al plano complejo. Muchos teoremas de planimetría permiten una notación clara y compacta usando números complejos, por ejemplo [2] :

Tres puntos (distintos) se encuentran en la misma línea si y solo si se cumple la siguiente condición: ${\ estilo de visualización z_{1},z_{2},z_{3))$

{\frac{z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}

es un número real.

Cuatro puntos (distintos) se encuentran en el mismo círculo (o en la misma línea) si y solo si se cumple la siguiente condición: ${\ estilo de visualización z_{1},z_{2},z_{3},z_{4))$

razón es un número real.

{\frac {z_{1}-z_{3}}{z_{2}-z_{3}}}:{\frac {z_{1}-z_{4}}{z_{2}- z_{4}}}

Si se dan tres vértices de un paralelogramo : entonces el cuarto está determinado por la igualdad [3] : $z_{1},z_{2},z_{3},$ $z_{4}=z_{1}-z_{2}+z_{3}.$

La ecuación paramétrica de una recta en el plano complejo tiene la forma [4] :

{\ estilo de visualización z = ut + v,}

donde son números complejos, es un parámetro real arbitrario.

tú, v

{\ estilo de visualización u \ neq 0, t}

El ángulo entre dos rectas y es En particular, las rectas son perpendiculares cuando es un número puramente imaginario. Dos líneas son paralelas si y solo si hay un número real; si también es real, entonces ambas líneas coinciden. Cada recta corta el plano complejo en dos semiplanos: en uno de ellos la expresión es positiva, en el otro es negativa [4] . ${\ estilo de visualización z = ut + v}$ $z=u't+v'$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arg} (u'/u).}$ ${\ estilo de visualización u'/u}$ ${\ estilo de visualización u'/u}$ ${\ estilo de visualización (v'-v)/u}$ ${\ estilo de visualización z = ut + v}$ $t=\operatorname {Im} {\frac {zv}{u}}$

La ecuación de un círculo con centro y radio tiene una forma extremadamente simple: La desigualdad describe el interior de un círculo [4] . La forma paramétrica de la ecuación circular suele ser conveniente [5] : $C$ $r$ ${\ estilo de visualización | zc | = r.}$ ${\ estilo de visualización | zc | <r}$ $z=c+e^{i\varfi}.$

El plano complejo extendido y el punto en el infinito

En el análisis complejo , a menudo es útil considerar el plano complejo extendido [6] aumentado en comparación con el punto habitual en el infinito : $(z=\infty)$

{\ widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}

Geométricamente, un punto está representado por un punto en la esfera de Riemann (su "polo norte"). $\infty$

Con este enfoque, se considera que una secuencia infinitamente creciente (módulo) converge en un punto en el infinito. No se realizan operaciones algebraicas con infinito, aunque se cumplen varias relaciones algebraicas [6] :

${\frac {z}{\infty}}=0;\\z+\infty =\infty\(z\neq\infty)$
$z\cdot \infty =\infty ;\ \ {\frac {z}{0}}=\infty \ (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Se considera que la vecindad de un punto en el infinito es el conjunto de puntos cuyo módulo es mayor que , es decir, la parte exterior de la vecindad del origen. $z$ ${\ estilo de visualización 1 \ sobre \ varepsilon}$ ${\ estilo de visualización 1 \ sobre \ varepsilon}$

El plano complejo extendido también se denomina esfera de Riemann , ya que es isomorfa a la esfera ordinaria (el isomorfismo se puede establecer, por ejemplo, utilizando proyección estereográfica ). En algunos casos, las funciones de valor complejo pueden extenderse a la esfera de Riemann. Dado que las líneas en el plano (bajo proyección estereográfica) se convierten en círculos en la esfera que contiene un punto en el infinito, es más conveniente considerar funciones complejas en la esfera. $S^{2}$ [ aclarar ]

Notas

↑
El acento doble se da según las siguientes fuentes.
- Gran Enciclopedia Soviética , 3ª ed. (1973), volumen 12, página 588, artículo Números complejos .
- Diccionario enciclopédico soviético (1982), página 613, artículo Número complejo .
- La última edición del "Diccionario de las dificultades del idioma ruso" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, p. 273) indica ambas opciones: "números complejos (complejos)".
- En la Gran Enciclopedia Rusa (Volumen 14, 2010), por razones no explicadas, se ofrecen simultáneamente los acentos Número complejo (pág. 691), pero Análisis complejo (pág. 695).
↑ Privalov II, 1984 , p. 43.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. diez.
↑ 1 2 3 Ahlfors Lars V., 1979 , pág. 17-18.
↑ Solomentsev E. D., 1988 , p. 12
↑ 1 2 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N., 1967 , p. 20-21.

Literatura

Arnold V. I. Geometría de números complejos, cuaterniones y espines , MTsNMO, 2002.
Pontryagin L. Números complejos , Kvant , n.° 3, 1982.
Privalov II Introducción a la teoría de funciones de variable compleja. - 13ª ed. - M. : Fizmatlit, 1984. - 432 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de las funciones de una variable compleja - M. : Nauka, 1967. - 304 p.
Solomentsev ED Funciones de variable compleja y sus aplicaciones. - M. : Escuela superior, 1988. - 167 p. — ISBN 5-06-003145-6 .
Shabat BV Introducción al análisis complejo: un libro de texto para estudiantes de mecánica y matemáticas en universidades, San Petersburgo: 2004.
Ahlfors Lars V. Análisis complejo. Una introducción a la teoría de funciones analíticas de una variable compleja. - Tercera edicion. - Universidad de Harvard: McGraw-Hill Book Company, 1979. - 317 p. — ISBN 0-07-000657-1 .