Teorema de expansión de la medida de Lebesgue

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 28 de septiembre de 2021; la verificación requiere 1 edición . Definiciones introductorias

Sea una función monótona no decreciente , continua por la izquierda [1] y tal que . Introduzcamos una medida en el semiring de todos los intervalos de la forma según la siguiente regla: . Esta medida se puede extender al álgebra sigma de Borel . En este caso, las medidas de los huecos con los extremos se especificarán de la siguiente manera. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$ ${\ estilo de visualización [a, \; b)}$ $metro$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Aquí , es el límite derecho de la función en el punto (existe porque la función no es decreciente). ${\ estilo de visualización F (a + 0)}$ $F(x)$ $a$ $F(x)$

La medida se puede extender a subconjuntos de la recta numérica de Lebesgue. En este caso , resulta que la medida Stieltjes . $metro$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {F}}$

Casos especiales de la función generadora : $F$

$F$ es la función de salto. El salto es siempre positivo, el conjunto está formado por un número finito o numerable de puntos (escalares). $A$

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ es una medida discreta.

La función F es continua, no decrece monótonamente en , en . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ es una medida absolutamente continua.

$F$ - una función singular (por ejemplo, la escalera de Cantor , donde el incremento es 1 en todo el segmento, pero en casi todas partes ). La medida se concentra en los puntos de crecimiento de la función. $F$ $constante$

Teorema de descomposición de la medida

Cualquier medida de Lebesgue-Stieltjes se puede representar como la suma de tres medidas: discreta, absolutamente continua y singular.

Notas

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. Elementos de la teoría de la medida y la integral de Lebesgue. - Kazan: Universidad Federal de Kazan, 2016. - p. 29