Teorema de legendre

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El teorema de Legendre es un enunciado sobre las condiciones para la existencia de soluciones para una determinada subclase de ecuaciones diofánticas cuadráticas , establecido por Legendre en 1785 .

Redacción

La ecuacion

aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,

cuyos coeficientes no son todos del mismo signo y son números coprimos por pares , tiene una solución no trivial en números enteros si y solo si: $a B C$ $(X, Y, Z)$

$-ab$ es el residuo cuadrático módulo , $C$
$-antes de Cristo$ es el residuo cuadrático módulo , $a$
$-California$ es el residuo cuadrático módulo . $b$

Acerca de la prueba

La necesidad de estas condiciones es obvia, la suficiencia se sigue del teorema de Minkowski-Hasse para formas cuadráticas : una forma cuadrática representa cero en si y solo si representa cero en y en todos los campos de números -ádicos . Para resolver en , se necesitan diferentes signos, para resolver en for , se necesitan las relaciones simétricas anteriores. $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$ $pags$ ${\matemáticas {Q}}_{p}$ $\matemáticas {R}$ ${\matemáticas {Q}}_{p}$ $p\mid abc$

Conexión con el teorema de los cuatro cuadrados

Este teorema se puede usar para demostrar el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, que establece que todos los números naturales se pueden escribir como la suma de cuatro cuadrados. Gauss señaló que el Teorema de los Cuatro Cuadrados se sigue fácilmente del hecho de que cualquier número entero positivo igual a 1 o 2 es la suma de 3 cuadrados, ya que cualquier número entero positivo que no sea divisible por 4 puede reducirse a esta forma por sustracción. 0 o 1 de eso. Sin embargo, la prueba del teorema de los tres cuadrados es significativamente más difícil que la prueba directa del teorema de los cuatro cuadrados, que no utiliza el teorema de los tres cuadrados. De hecho, el teorema de los cuatro cuadrados se demostró antes, en 1770.

Literatura

Borevich Z.I., Shafarevich IR Teoría de números. - M. : Nauka, 1985. - S. 77-80. — 504 pág.