Teorema de midi

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El teorema de Midi - un teorema en matemáticas, llamado así por el matemático francés Midi (ME Midy), establece que si en la notación decimal de una fracción (donde es un número primo ), la longitud del registro del período de la fracción consta de dígitos, es decir: $un/p$ $pags$ $2n$

{\frac {a}{p}}=0.\overline {a_{1}a_{2}a_{3}\puntos a_{n}a_{{n+1}}\puntos a_{{2n}} },

después

a_{i}+a_{i+n}=9

a_{1}\puntos a_{n}+a_{{n+1}}\puntos a_{{2n}}=10^{n}-1.

En otras palabras, la suma del dígito en notación decimal para la primera mitad del período y el dígito correspondiente en la segunda mitad es 9.

Por ejemplo,

{\frac 1{17}}=0,\overline {0588235294117647},

05882352+94117647=99999999.

Teorema de Midi extendido

Sea el número de dígitos en el período decimal de la fracción (donde es un número primo ). Si es cualquier divisor de , entonces el teorema de Midi se puede generalizar. El teorema de Midi extendido [1] postula que si el período decimal de una fracción se divide por números de dígitos, entonces su suma es divisible por 10 k − 1. $h$ $un/p$ $pags$ $k$ $h$ $un/p$ $k$

Por ejemplo,

{\frac{1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}

tiene un período de 18 dígitos. Dividiéndolo por números de seis dígitos, obtenemos:

{\ estilo de visualización 052631 + 578947 + 368421 = 999999.}

Del mismo modo, dividiendo por números de tres dígitos:

052+631+578+947+368+421=2997=3\veces 999.

Teorema de Midi en sistemas con diferente base

El teorema de Midi no depende de la base del sistema numérico . Para un sistema numérico que no sea decimal , en él debe reemplazar 10 con la base del sistema -k , y 9 con k-1 . Entonces, por ejemplo, en el sistema numérico octal :

{\frac{1}{19}}=0.\sobrelínea {032745}_{8}

{\displaystyle 032_{8}+745_{8}=777_{8))

03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Midy's Theorem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

↑ Bassam Abdul-Baki, Teorema de Midy extendido , 2005.