Teorema de Peano

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El teorema de Peano (a veces el teorema de Cauchy-Peano ) es un teorema sobre la existencia de una solución a una ecuación diferencial ordinaria , que establece que

Sea la función continua en la totalidad de las variables en alguna región y sea el máximo en esta región. Si , entonces hay al menos una solución de la ecuación en el intervalo que satisface la condición inicial . $f(t,x)$ $|t-t_{0}|\leqslant a,|x-x_{0}|\leqslant b$ $\beta$ $|f(t,x)|$ $h=\min(a,{\frac {b}{\beta)))$ $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ ${\frac{dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$

Prueba

Una ecuación con una condición inicial es equivalente a una ecuación integral . ${\frac{dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$ $x(t)=x_{0}+\int \limits_{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$

Considere un operador A definido por la igualdad en el espacio en la pelota , que será un conjunto convexo cerrado en este espacio. $A(x)\equiv x_{0}+\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau$ $C[t_{{0}}-h,t_{{0}}+h]$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$

El operador A es completamente continuo sobre esta bola. Si la sucesión perteneciente a la pelota converge uniformemente a la función , entonces, debido a la continuidad de la función , tenemos que uniformemente en . Con convergencia uniforme, el paso al límite bajo el signo integral es legal, de modo que , es decir, el operador A es continuo sobre la bola . ${\mathcal {f}}x_{n}(t){\mathcal {g}}$ $|x-x_{0}|\leqslant b$ $x(t)\en S_{b}$ $f(t,x)$ $f(t,x_{n}(t))\flecha derecha f(t,x(t))$ $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ $Hacha_{n}\rightarrow Hacha$ $S_{b}$

Para cualquier elemento , la desigualdad es verdadera , es decir, el conjunto de valores del operador es limitado. $x(t)\en S_{b}$ $|Ax(t)|\leqslant |x_{0}|+|\int \limits _{{t_{{0}}}}^{t}f(\tau ,x(\tau ))d\tau \ leqslant |x_{0}|+\beta |h|$ $A$

Si y son puntos cualesquiera del segmento , entonces para cualquier función tendremos , es decir, el conjunto de valores del operador es equicontinuo. $t_{1}$ $t_{2}$ $[t_{0}-h,t_{0}+h]$ $x(t)\en S_{b}$ $|Ax(t_{{2}})-Ax(t_{{1}})|\leqslant |\int \limits_{{t_{{1}}}}^{{t_{{2}}}} f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta |t_{{2}}-t_{{1}}|$ $A$

En virtud del teorema de Arzela, de esto concluimos que el operador transforma la bola en un conjunto compacto. $A$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$

Esto prueba la completa continuidad del operador . $A$

El operador transforma la bola en sí mismo. De hecho, . $A$ $S_{b}:||x-x_{0}||\leqslant b$ $|Ax(t)-x_{0})|\leqslant |\int \limits _{{t_{{0}}}}^{{t}}f(\tau ,x(\tau ))d\tau |\leqslant \beta h\leqslant \beta {\frac {b}{\beta}}=b$

Por tanto, el operador satisface todas las condiciones del teorema de Schauder. Hay un punto fijo de este operador, es decir, una función tal que . $A$ ${\tilde {x}}(t)$ ${\tilde {x}}(t)\equiv x_{0}+\int \limits_{{t_{{0}}}}^{{t}}f(\tau ,{\tilde {x}} (\tau))d\tau$

Esta función será la solución de la ecuación que satisface la condición inicial . ${\tilde {x}}(t)$ ${\frac{dx}{dt}}=f(t,x)$ $x(t_{0})=x_{0}$

Véase también

Teorema de existencia y unicidad para una solución a una ecuación diferencial ordinaria

Literatura

Krasnov M. L. Ecuaciones Integrales, Moscú, Nauka, 1975.