Teorema de existencia y unicidad para una solución a una ecuación diferencial ordinaria

El teorema de existencia y unicidad para una solución a una ecuación diferencial ordinaria es un teorema que describe el conjunto de todas las soluciones a una ecuación diferencial ordinaria . Es la posición teórica principal en el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias. [una]

Establece que para cada valor inicial del dominio de definición, siempre existe una solución a la ecuación con estos valores iniciales, definida en algún intervalo que contiene el punto . Si hay dos soluciones con los mismos valores iniciales , cada una de las cuales está definida en su propio intervalo que contiene , entonces estas soluciones coinciden en la parte común de estos intervalos . [2] ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi}}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$

Redacción

Considere una ecuación diferencial ordinaria (EDO) , donde es un vector, , es una función vectorial de un vector y un escalar , el signo significa la derivada con respecto a . Las funciones y todas sus derivadas parciales son definidas y continuas en un conjunto abierto . ${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(x,{\vec {y}})$ ${\vec{y}}=(y_{1},...,y_{n})$ ${\vec {f}}(x,{\vec {y}})=(f_{1}(x,{\vec {y}}),...,f_{n}(x, {\ vec {y))))$ ${\vec{y}}$ $X$ ${\ punto {y}}$ $y$ $X$ ${\ estilo de visualización {\ vec {f}} (x, {\ vec {y}})}$ ${\displaystyle {\frac {\parcial f_{i}(x,y_{1},...,y_{n})}{\parcial y_{j))))$ ${\ estilo de visualización i, j = 1,..., n}$ $\Gama$

Entonces para cada punto , llamados valores iniciales de la solución , hay una solución a la EDO , definida en algún intervalo que contiene al punto y que satisface la condición , llamada condiciones iniciales de la solución . $x_{0},{\vec {y_{0}}}\en \Gamma$ ${\vec {y}}={\vec {\varphi}}(x)$ $x_{{0}}$ ${\displaystyle {\vec {\varphi}}(x_{0})={\vec {y_{0))))$

Si existen dos soluciones de la EDO , , definidas sobre sus propios intervalos de valores de la variable , que contienen un punto y tal que , entonces estas soluciones coinciden dondequiera que estén definidas. Es decir, para los valores iniciales , se define una única solución que satisface la condición inicial . [3] [4] ${\ estilo de visualización {\ vec {y}} = {\ vec {\ psi}} (x)}$ ${\ estilo de visualización {\ vec {y}} = {\ vec {\ chi}} (x)}$ $X$ $x_{{0}}$ ${\vec {\psi }}(x_{0})={\vec {\chi }}(x_{0})={\vec {y_{0}}}$ ${\displaystyle x_{0},{\vec {y_{0))))$ ${\vec {\varphi}}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\vec {\varphi}}(x_{0},{\vec {y_{0}}},x_{0})={\vec {y_{0}}}$

La función y sus derivadas parciales dependen continuamente de las variables . ${\vec {\varphi}}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})$ ${\frac {{\vec {\varphi }}f_{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\parcial y_{0}}}$ ${\ estilo de visualización i = 1,..., n}$ $x,{\vec {y_{0}}},x_{0}$

Los derivados mixtos existen, son continuos y no dependen del orden de diferenciación. [3] ${\frac {\parcial ^{2}\varphi _{i}(x,{\vec {y_{0}}},x_{0})}{\parcial x\parcial ^{j}y_ {0}}}$ ${\ estilo de visualización i, j = 1,..., n}$ ${\ Displaystyle t, {\ vec {x_ {0}}}}$

Véase también

teorema de Peano

Notas

↑ Pontryagin, 1988 , pág. quince.
↑ Pontryagin, 1988 , pág. 17-18.
↑ 1 2 Pontryagin, 1988 , p. 16-17.
↑ IP Lizorkin Curso de ecuaciones diferenciales e integrales con capítulos adicionales de análisis. - M. , Nauka , 1981. - pág. 86

Literatura

L.S. Pontryagin . Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. — M .: Nauka , 1988. — 208 p.