Teorema de señalar

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El teorema de Poynting es un teorema que describe la ley de conservación de la energía en un campo electromagnético . El teorema fue probado en 1884 por John Henry Poynting . Todo se reduce a la siguiente fórmula:

{\frac {\parcial u}{\parcial t))+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ,

donde es la densidad de energía : ; $tu$ $u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\ mu _{0}}}\derecha)$

\varepsilon_{0}

- constante eléctrica , - constante magnética ;

\mu_{0}

\nabla

— operador nabla ; S es el vector de Poynting ; J es la densidad de corriente y E es la intensidad del campo eléctrico .

Teorema de Pointing en forma integral :

{\frac {\parcial }{\parcial t))\int _{V}u\ dV+\oint _({\parcial V)){\mathbf {S))\ d{\mathbf {A))=- \int _{V}{\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}\ dV

donde está la superficie que limita el volumen . $\parcial V$ $V$

En la literatura técnica, el teorema suele escribirse de la siguiente manera ( - densidades de energía): $tu$

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {E}}}{\parcial t}}+{\ fracción {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\parcial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf{E}}=0

donde es la densidad de energía del campo eléctrico, es la densidad de energía del campo magnético y es la potencia de las pérdidas de Joule por unidad de volumen. $\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {E}}}{\parcial t}}$ ${\frac {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\parcial t}}$ ${\mathbf {J}}\cdot {\mathbf {E}}$

Conclusión

El teorema se puede derivar usando dos ecuaciones de Maxwell (por simplicidad, asumimos que el medio es un vacío (μ=1, ε=1); para el caso general con un medio arbitrario, es necesario atribuir ε y μ a cada uno ε 0 y μ 0 en las fórmulas) :

\nabla \times {\mathbf {E}}=-{\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\parcial t}}.

Multiplicando ambos lados de la ecuación por , obtenemos: $\matemáticas {B}$

{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=-{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\parcial t}}.

Considere primero la ecuación de Maxwell-Ampere:

\nabla \times {\mathbf {B}}=\mu _{0}{\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\parcial {\mathbf {E} }}{\t parcial}}.

Multiplicando ambos lados de la ecuación por , obtenemos: $\mathbf {E}$

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})={\mathbf {E}}\cdot \mu _{0}{\mathbf {J}}+{\mathbf { E}}\cdot \varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\parcial {\mathbf {E}}}{\parcial t}}.

Restando el primero del segundo, obtenemos:

{\mathbf {E}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {B}})-{\mathbf {B}}\cdot (\nabla \times {\mathbf {E}})=\mu_{ 0}{\mathbf {E}}\cdot {\mathbf {J}}+\varepsilon _{0}\mu _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf { E}}}{\t parcial}}+{\mathbf {B}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\t parcial}}.

Finalmente:

-\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}\ mu _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\parcial \mathbf {E} }{\parcial t))+\mathbf {B} \cdot {\frac {\parcial \mathbf {B} } {\ t parcial)).

Dado que el vector de Poynting se define como: $\mathbf {S}$

{\mathbf {S}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}

esto es equivalente a:

\nabla \cdot {\mathbf {S}}+\varepsilon _{0}{\mathbf {E}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {E}}}{\parcial t}}+{\ fracción {{\mathbf {B}}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\parcial {\mathbf {B}}}{\parcial t}}+{\mathbf {J}}\ cdot {\mathbf{E}}=0.

Generalización

La energía mecánica del teorema anterior

{\frac {\parcial }{\parcial t))u_{m}({\mathbf {r)),t)+\nabla \cdot {\mathbf {S))_{m}({\mathbf {r ) )),t)={\mathbf {J}}({\mathbf {r}},t)\cdot {\mathbf {E}}({\mathbf {r}},t),

donde u_m es la energía cinética de la densidad en el sistema. Se puede describir como la suma de la energía cinética de las partículas α

u_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\dot {r}}_{ {\alfa}}^{2}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alfa}}(t)),

${\mathbf {S_{m))}$ - flujo de energía, o "vector mecánico de Poynting":

{\mathbf {S}}_{m}({\mathbf {r}},t)=\sum _({\alpha }}{\frac {m_{{\alpha }}}{2}}{\ punto {r}}_{{\alpha }}^{2}{\dot {{\mathbf {r}}}}_{{\alpha }}\delta ({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{{\alfa}}(t)).

Ecuación de continuidad de la energía o ley de conservación de la energía

{\frac {\parcial }{\parcial t}}\left(u_{e}+u_{m}\right)+\nabla \cdot \left({\mathbf {S}}_{e}+{\ matemáticabf {S}}_{m}\right)=0,

Formas alternativas

Se pueden obtener otras formas del teorema de Poynting. En lugar de utilizar el vector de flujo, se puede elegir la forma de Abraham , la forma de Minkowski o alguna otra. ${\mathbf {S}}\propto {\mathbf {E}}\times {\mathbf {B}}$ ${\mathbf {E}}\veces {\mathbf {H}}$ ${\mathbf {D}}\veces {\mathbf {B}}$