Teorema del triángulo de Roberts

El teorema de Roberts sobre los triángulos establece que entre las piezas en las que las líneas rectas en posición general cortan un plano, hay al menos un triángulo. $norte$ $n-2$

El teorema es famoso por su formulación simple y una gran cantidad de soluciones erróneas. En particular, Roberts, que da nombre al teorema, dio una demostración errónea. Shannon resolvió este problema solo después de 90 años desde el momento del fraguado.

Redacción

Sean rectas en el plano en posición general, es decir, no hay dos paralelas ni tres que se corten en un punto. Entonces, entre las regiones poligonales en las que estas líneas cortan el plano, hay al menos un triángulo. $norte$ $n-2$

Historia

La pregunta fue formulada y resuelta por Roberts en 1889.
- En 1972 Branko Grünbaum señaló un error en la prueba.
En 1979, Shannon dio la primera prueba del teorema.
A principios de la década de 1980, el problema se hizo popular en los círculos matemáticos de la URSS.
En 1985, Alexei Kanel-Belov dio una demostración elemental elegante utilizando álgebra lineal , que no se publicó hasta 1992.
En 1998, Stefan Felsner y Klaus Kriegel presentaron una prueba simple puramente combinatoria.
- Su prueba también funciona para configuraciones de pseudolínea .

Acerca de la evidencia

El error estándar es tratar de probar que agregar una línea a la configuración aumenta el número de triángulos en al menos 1, y así probar el teorema por inducción en . Es fácil probar que sumando una línea no disminuye el número de triángulos, pero no siempre suma 1 a su número. $n\geq 3$ $norte$

La idea de Kanel-Belov es la siguiente. Si el número de triángulos es menor que , entonces, mediante el razonamiento de álgebra lineal estándar, se pueden fijar dos líneas y mover el resto en paralelo para que los perímetros de todos los triángulos permanezcan iguales. Con tal movimiento, no se forman nuevos triángulos y los antiguos no pueden "morir". Usando tal movimiento, uno puede reducir la configuración de las líneas a un caso más simple en el que la demostración no es difícil. $n-2$ $n-2$

La idea de Felsner y Kriegel es la siguiente. En cada pieza del tabique plantamos una flor a cada lado, por lo que la suma de los ángulos adyacentes a ella es . Tenga en cuenta que se planta exactamente una flor en cada lado, por lo tanto, el número de flores es . Más adelante notamos que en cada triángulo hay exactamente tres flores, y en un polígono acotado que no sea un triángulo, hay como mucho dos flores. Por inducción sobre obtenemos que el número de polígonos acotados de la partición es igual a ${\ estilo de visualización </ pi}$ ${\ estilo de visualización n \ cdot (n-2)}$ $norte$ ${\tfrac {1}{2}}\cdot (n-2)\cdot (n-1)$ .

Entonces, si denotamos el número de triángulos como , obtenemos

t

(n-2)\cdot (n-1)+t\geq n\cdot (n-2)

, de donde sigue inmediatamente lo deseado .

t\geq n-2

Variaciones y generalizaciones

La afirmación sigue siendo verdadera si no hay líneas paralelas en la configuración y no todas las líneas pasan por el mismo punto.
Un problema similar en el plano proyectivo es más simple; al menos los triángulos se cortan con líneas. Esta estimación es exacta para . La demostración la dio Friedrich Levi en 1926, se basa en que cada línea bordea al menos tres triángulos. $norte$ $norte$ $n\geq 4$
Entre las piezas del espacio euclidiano -dimensional en las que se divide en hiperplanos en posición general, hay al menos simples . $d$ $norte$ ${\ Displaystyle fin}$

Véase también

Literatura

A. Kanel, A. Kovaldzhi. Triángulos y catástrofes // Kvant . - 1992. - Nº 11 . - S. 42-50 . (Ruso)
A. Ya. Belov. Sobre un problema de geometría combinatoria // Uspekhi Mat . - 1992. - T. 47 , N° 3 (285) . — S. 151–152 . (Ruso)
B. Grünbaum . ¿Cuantos triángulos? (Inglés) // Geombinatoriales . - 1998. - vol. 8 , núm. 1 . - pág. 154-159 .
B. Grünbaum . Arreglos y untables . - 1972. - iv + 114 p.
S. Felsner, K. Kriegel. Triángulos en arreglos euclidianos // Cómputo discreto. Geom.. - 1999. - Vol. 22 , núm. 3 . - P. 429-438 .
F. Levi. Die Teilung der projektiven Ebene durch Gerade oder Pseudogerade (alemán) // Ber. Matemáticas-Fis. Kl. Sachs. Akád. sabio - 1926. - Bd. 78 . - S. 256-267 .
S.Roberts. Sobre las figuras formadas por las intersecciones de un sistema de rectas en el plano y sobre relaciones análogas en el espacio de tres dimensiones // Proc . Matemáticas de Londres. Soc.. - 1889. - Vol. 19 _ — págs. 405–422 .
RW Shannon. Células simples en arreglos de hiperplanos // Geom . Dedicada . - 1979. - vol. 8 _ — pág. 179–187 .