Teorema de reuschle

El teorema de Reuschle describe las propiedades de las cevianas de un triángulo que se cortan en un punto. El teorema lleva el nombre del matemático alemán Carl Gustav Reuschle (1812-1875). También conocido como teorema de Terkem , en honor al matemático francés Olry Terkem (1782–1862), quien lo publicó en 1842.

Enunciado del teorema

En un triángulo con tres cevianas que se cortan en un punto común diferente de los vértices , , , denotan , y las intersecciones de los lados prolongados del triángulo y las cevianas. La circunferencia que pasa por tres puntos y corta las prolongaciones de los lados del triángulo en los puntos , y . El teorema de Reuschle establece que estas tres nuevas cevianas también se cortan en el mismo punto. $A B C$ $A$ $B$ $C$ $Pensilvania$ $P_b$ $Ordenador personal$ $Pensilvania$ $P_b$ $Ordenador personal$ $P'_{a}$ ${\ Displaystyle P'_ {b}}$ $P'_{c}$ $AP'_{a}$ ${\displaystyle BP'_{b))$ $CP'_{c}$

Caso especial. Un ejemplo del teorema de Reuschle

Para un círculo de nueve puntos , que, entre otros, también se llama el "círculo de Terkem", Terkem demostró el teorema de Terkem [1] . Ella afirma que si un círculo de nueve puntos corta los lados de un triángulo o sus prolongaciones en 3 pares de puntos (en 3 bases respectivamente de alturas y medianas) que son las bases de 3 pares de cevianos, entonces si 3 cevianos para 3 de estas bases se intersecan en 1 punto (por ejemplo 3 medianas se intersecan en 1 punto), luego las 3 cevianas de las otras 3 bases también se intersecan en 1 punto (es decir, las 3 alturas también deben intersecar en 1 punto).

Notas

↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . Odessa, 1902. S. 16.

Literatura

Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. - Stuttgart, 1867 (reimpresión Wiesbaden 1973). - T. I. - P. 125. - ISBN 3-500-26010-1 . (Alemán)
MD Fox, JR Goggins. Ejes cevianos y curvas relacionadas // The Mathematical Gazette. - 2007. - T. 91 , N º 520 . - Pág. 3-4 .

Enlaces

Teorema de Terquem en cut-the-knot.org
Weisstein, Eric W. Cyclocevian Conjugate (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .