Teorema de Fenichel

El teorema de Fenichel es uno de los resultados clásicos de la teoría de los sistemas rápidos-lentos. Garantiza la existencia de conjuntos localmente invariantes para la variedad lenta del sistema.

El teorema está formulado para un sistema rápido-lento de la forma (1) $\left\{{\begin{matriz}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon)\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon )\end{matriz}}\right.$

Redacción

Sea, para cualquier vector del dominio conexo , existe una solución a la ecuación suavemente dependiente de , tal que la matriz es hiperbólica. Denotemos las variedades locales estables e inestables de la posición de equilibrio inestable del sistema como y respectivamente. Entonces existe tal que para cualquiera en el espacio de fase del sistema (1) existe un conjunto hiperbólico localmente invariante , que se encuentra en la vecindad del conjunto , cuyas variedades locales invariantes estables e inestables están cerca de . [una] $y$ $D\subconjunto \mathbb {R} ^{m}$ ${\ estilo de visualización x = x_ {*} (y)}$ ${\ estilo de visualización f (x, y, 0) = 0}$ $y$ $f'_{x}(x_{*}(y),y,0)$ ${\ estilo de visualización x_ {*} (y)}$ ${\ estilo de visualización {\ punto {x}} = f (x, y, 0)}$ $W_{0}^{s}(x_{*}(y))$ $W_{0}^{u}(x_{*}(y))$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {0}> 0}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <\varepsilon _{0))$ ${\ Displaystyle M_ {\ varepsilon}}$ $\varepsilon$ $M_{0}=\bigcup_{y\in {\mathcal {D}}}x_{*}(y)$ ${\ estilo de visualización O (\ varepsilon)}$ $\bigcup _{y\in {\mathcal {D}}}W_{0}^{s,u}(x_{*}(y))$

Notas

↑ Neil Fenichel. Teoría geométrica de perturbaciones singulares para ecuaciones diferenciales ordinarias // Journal of Differential Equations. — 1979-01. - T. 31 , n. 1 . — págs. 53–98 . — ISSN 0022-0396 . -doi : 10.1016 / 0022-0396(79)90152-9 .