Sistema rápido-lento

Un sistema rápido-lento en matemáticas es un sistema dinámico en el que hay procesos que ocurren en diferentes escalas de tiempo. Las variables de fase de dicho sistema se dividen en dos clases: variables "rápidas" y "lentas". La tasa de cambio de las variables "rápidas" en casi todos los puntos del espacio de fase es mucho mayor que la tasa de cambio de las variables "lentas". Las trayectorias de tales sistemas consisten en secciones alternas de "deriva" lenta y "rupturas" rápidas. Los sistemas rápido-lento describen varios fenómenos físicos y de otro tipo en los que la acumulación evolutiva gradual de pequeños cambios a lo largo del tiempo conduce a una transición abrupta del sistema a un nuevo régimen dinámico. [una]

Términos relacionados: sistema singularmente perturbado , oscilaciones de relajación , bifurcaciones dinámicas .

Definición formal y conceptos básicos

Considere la familia de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

${\begin{casos}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon)\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),\end {casos}}\quad x\in \mathbb {R} ^{n},\ y\in \mathbb {R} ^{m},\ \varepsilon \in (\mathbb {R} ,0)$

Si f y g dependen suavemente de sus argumentos, y es un parámetro pequeño , entonces se dice que la familia escrita de esta manera define un sistema rápido-lento. La variable x se llama variable rápida, y se llama variable lenta. La teoría de sistemas rápidos-lentos estudia el comportamiento asintótico de sistemas de este tipo para . $\varepsilon$ $\varepsilon\a 0$

Una curva lenta es un conjunto de ceros de una función f: . Cuando el sistema se llama "rápido": la variable y es un parámetro fijo. La curva lenta consta de los puntos fijos del sistema rápido y, por lo tanto, es su variedad invariante . Para small , un sistema rápido-lento es una pequeña perturbación de uno rápido: fuera de cualquier vecindad fija , la tasa de cambio de la variable excede arbitrariamente la tasa de cambio de la variable . Desde un punto de vista geométrico, esto significa que fuera de las inmediaciones de la curva lenta, las trayectorias del sistema son prácticamente paralelas al eje de movimiento rápido . (En las ilustraciones, tradicionalmente se representa verticalmente, vea la figura). ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $\varepsilon=0$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ neq 0}$ $METRO$ $X$ $y$ $X$

Para una sección de una curva lenta que es pequeña en un vecindario pequeño y se proyecta únicamente a lo largo de la dirección del movimiento rápido (es decir, no tiene pliegues u otras características de diseño), el sistema retiene una variedad invariante , que está cerca de la curva lenta . Esta variedad invariante se llama la curva lenta verdadera . Su existencia puede deducirse del teorema de Fenichel , o de la teoría de las variedades centrales . Se especifica de una manera no única, pero todas esas variedades invariantes son exponencialmente cercanas (es decir, la distancia entre ellas se estima como ). $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización O (\ varepsilon)}$ $METRO$ $O(\exp -C/|\varepsilon |)$

La proyección del campo vectorial del sistema rápido a lo largo de la dirección del movimiento rápido sobre la curva lenta se llama campo lento , y la ecuación dada por este campo y definida en la curva lenta se llama ecuación lenta . La dinámica del sistema perturbado (en ) en la curva lenta verdadera se aproxima mediante la ecuación lenta con una precisión de . ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización O (\ varepsilon)}$

Sistema mixto

Para el análisis de sistemas rápidos-lentos, a menudo es útil considerar el llamado sistema mixto . Suponemos que en la curva lenta la dinámica viene dada por la ecuación lenta, y fuera de la curva lenta, por el sistema rápido. La "trayectoria" de tal sistema (la llamada "trayectoria singular") es una curva suave por tramos que consta de arcos alternos de la parte estable de la curva lenta y contraataques rápidos.

En sistemas rápido-lento en el plano (es decir, cuando las variables rápido y lento son unidimensionales), bajo ciertas condiciones de no degeneración, las trayectorias singulares del sistema mixto permiten “simular” el comportamiento del rápido-lento. sistema lento para pequeño : la trayectoria “real” pasa en el barrio de lo singular. Su dinámica consiste en alternar fases de "deriva" lenta cerca de las secciones estables de la curva lenta y "quiebres" rápidos a lo largo de las trayectorias de movimiento rápido. ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización O (\ varepsilon)}$

En el curso del movimiento "lento", la trayectoria recorre una distancia fija en un tiempo del orden de , mientras es atraída exponencialmente por la curva lenta verdadera correspondiente (y otras trayectorias). $O(1/\varepsilon)$

Ciclos de relajación

Considere el siguiente sistema rápido-lento asociado con el oscilador de Van der Pol :

${\begin{casos}{\dot {x}}&=-y+xx^{3};\\{\dot {y}}&=\varepsilon x.\end{casos}}$

Su curva lenta es una parábola cúbica . (Ver Fig.) Considerando un sistema mixto, es fácil construir el llamado "ciclo singular" pasando por los puntos , , , . Tenga en cuenta que el ciclo se debe al hecho de que el campo lento se dirige hacia la derecha en la parte superior del gráfico y hacia la izquierda en la parte inferior; además, en la parte inestable de la curva lenta, el sistema lento tiene un punto fijo. ${\ estilo de visualización y = xx ^ {3}}$ $G_{1}$ $F_{2}$ $G_{2}$ $F_{1}$

Cerca de este ciclo singular, el sistema rápido-lento tiene un ciclo límite estable "real". De hecho, la curva lenta verdadera cerca del segmento continúa en tiempo directo más allá del punto de pérdida , se descompone, llega a la vecindad de la parte inferior de la curva lenta, luego se mueve hacia la izquierda cerca de la curva lenta verdadera correspondiente al segmento , sufre una se detiene hacia arriba y vuelve a caer en las inmediaciones del arco . Debido al efecto de la convergencia exponencial de las trayectorias al moverse cerca de secciones estables de una curva lenta (ver el final de la sección anterior), el mapa de Poincaré de la transversal a sí mismo (ver Fig.) es un mapa de contracción , y por lo tanto tiene un punto fijo Esto significa que el sistema tiene un ciclo límite. También se dice que tal sistema experimenta oscilaciones de relajación . $\varepsilon >0$ ${\ estilo de visualización F_ {1} G_ {1}}$ $G_{1}$ ${\ estilo de visualización F_ {2} G_ {2}}$ ${\ estilo de visualización F_ {1} G_ {1}}$ $j$

Reseña histórica

Vibraciones de relajación

Las oscilaciones de relajación se descubrieron por primera vez en la ingeniería de radio . Para describir las oscilaciones en un circuito que incluye dos resistencias , una capacitancia , una inductancia y un tetrodo , B. Van der Pol propuso a finales de los años 20 del siglo XX [2] una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden ( Van der Pol ecuación ), dependiendo del parámetro, que denotaremos por . El parámetro especificado se expresó a través de los parámetros de los elementos de contorno. En pequeñas oscilaciones en el circuito, estaban cerca del armónico, pero con un aumento, su carácter cambió, y en valores grandes del parámetro, secciones de dos tipos comenzaron a distinguirse en la dinámica del proceso oscilatorio: "lento ” cambios y “saltos” rápidos de un estado a otro. Van der Pol sugirió que tales oscilaciones se llamaran oscilaciones de relajación y planteó la hipótesis de que, para , las soluciones correspondientes se vuelven discontinuas. (En este sentido, las oscilaciones de relajación también suelen denominarse discontinuas ). $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu \to +\infty$

También se han observado efectos similares en otros sistemas físicos. En particular, durante el análisis de varios circuitos multivibradores, A. A. Andronov y A. A. Witt encontraron [1] que algunos parámetros “parásitos” (como la resistencia o la autoinducción de un conductor), tradicionalmente descartados debido a su relativa pequeñez en la construcción de un modelo , pueden afectar significativamente el comportamiento del sistema: por ejemplo, participar en la formación de retroalimentación positiva y, por lo tanto, jugar un papel clave en la ocurrencia de auto-oscilaciones . Por lo tanto, su rechazo condujo a un modelo inadecuado. Inicialmente, se tuvo en cuenta la influencia de pequeños parámetros al introducir el "postulado del salto" propuesto por L. I. Mandelstam , según el cual, a partir de consideraciones físicas, se declaró que, habiendo alcanzado un cierto estado, el sistema pasa "instantáneamente" a otro. estado. La justificación matemática del "postulado del salto" fue obtenida por N. A. Zheleztsov y L. V. Rodygin [3] [4] , y requirió la consideración de ecuaciones en las que el pequeño parámetro "parásito" era un coeficiente en la derivada más alta, y su inclusión aumentaba el orden de la ecuación o, en otras palabras, la dimensión del espacio de fase del sistema correspondiente. Así, desde la década de 1940, diversos investigadores comenzaron a considerar sistemas de la forma

\left\{{\begin{matriz}\varepsilon x'&=&f(x,y,\varepsilon ),\\y'&=&g(x,y,\varepsilon ).\end{matriz} }\Correcto.

((*))

o, después de cambiar a otra escala de tiempo : $t=\tau /\varepsilon$

{\begin{cases}{\dot {x}}=f(x,y,\varepsilon),\\{\dot {y}}=\varepsilon g(x,y,\varepsilon),\ fin {casos}}

((**))

donde y puede ser, en términos generales, coordenadas multidimensionales, y es un parámetro pequeño. La ecuación clásica de van der Pol se reduce a un sistema de forma similar usando la transformación de Liénard (en este caso ). Dichos sistemas en la terminología moderna se denominan "rápido-lento": coordinar - rápido, - lento. De interés es el comportamiento asintótico de las soluciones para . $X$ $y$ $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ sim 1/ \ mu}$ $X$ $y$ $\varepsilon\a 0$

Sistemas rápidos y lentos

Los retratos de fase de los sistemas (*) y (**) en fijo coinciden, pero el comportamiento límite en es diferente: el límite (*) se llama sistema lento (especifica el movimiento en “tiempo lento” ), y el límite ( **) se llama rápido . Las tractorias del sistema rápido se encuentran en planos , y el conjunto de ceros de la función , llamado superficie lenta , está formado enteramente por puntos singulares (fijos) del sistema rápido (que, por tanto, no están aislados). Por el contrario, las trayectorias de un sistema lento se encuentran completamente en la superficie lenta. ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ a 0}$ $\tau$ $y={\mathrm {c} onst}$ ${\displaystyle M:=\{(x,y)\mid f(x,y,0)=0\))$ $F$

La consideración de estos sistemas de limitación permitió explicar la aparición de "saltos instantáneos". El sistema lento corresponde al modelo, en cuya construcción se descartaron pequeños parámetros "parásitos". Describe adecuadamente el comportamiento de un sistema real para pequeños , pero solo mientras el movimiento ocurra cerca de los segmentos de superficie lentos, que consisten en puntos singulares estables del sistema rápido. Sin embargo, la trayectoria de un sistema lento puede alcanzar en algún punto el límite de la región de atracción. En este momento, la trayectoria del sistema real puede experimentar un bloqueo : abandone la vecindad de la superficie lenta y cambie de cámara lenta a cámara rápida, que es establecida por el sistema rápido. Este es el "salto" observado (en una escala de tiempo lenta ocurre "instantáneamente", es decir, la trayectoria tiene una discontinuidad; en una escala de tiempo rápida, en un tiempo del orden de ), que no se puede explicar despreciando pequeñas parámetros En este caso, la trayectoria, siguiendo la dinámica rápida, puede volver a caer en una sección estable de la superficie lenta, después de lo cual el movimiento rápido será nuevamente reemplazado por el movimiento lento, etc. $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon \ neq 0}$ $\tau$ $O(1)$

Así, fue posible describir el comportamiento de soluciones de sistemas rápidos-lentos, considerando en ellos fases alternantes de movimiento lento a lo largo de secciones estables de la superficie lenta, determinadas por el sistema lento, y estancamientos a lo largo de las trayectorias del sistema rápido. Si las coordenadas rápidas y lentas son unidimensionales (es decir, se consideran sistemas rápidos-lentos en el plano), esta descripción se satisface con la trayectoria típica de un sistema típico. La trayectoria cerrada que pasa por las secciones de movimientos rápidos y lentos es un ciclo de relajación responsable de la aparición de oscilaciones de relajación.

La investigación adicional en esta área se dirigió principalmente a encontrar asintóticas con respecto a varios parámetros de las verdaderas trayectorias del sistema en (por ejemplo, el período de oscilaciones de relajación). Las dificultades significativas fueron causadas por el análisis de la dinámica en la vecindad de los puntos de ruptura, donde ocurre el cambio de cámara rápida a cámara lenta. Este problema fue resuelto por L. S. Pontryagin y E. F. Mishchenko a fines de la década de 1950 [5] [6] . A. N. Tikhonov, A. B. Vasil'eva, L. Flatto, N. Levinson y otros obtuvieron resultados importantes [7] [8] . Los primeros términos de la serie asintótica para el período de oscilaciones de relajación en la ecuación de Van der Pol fueron calculados por primera vez por A. A. Dorodnitsyn [9] . J. Haag obtuvo una serie de asintóticas para el caso general de un sistema rápido-lento en un avión en los años 40 [10] [11] . Los métodos desarrollados por Pontryagin y Mishchenko permitieron obtener asintóticas completas para soluciones de sistemas rápidos-lentos típicos en el plano, que fueron descritos en la monografía de E. F. Mishchenko y N. Kh. Rozov [12] , que se ha convertido en un clásico . $\varepsilon$ $\varepsilon\a 0$

Apriete pandeo y patos

Sin embargo, resultó que esta simple descripción cualitativa no agota todos los tipos posibles de trayectorias de sistemas rápidos-lentos. Entonces, en los años 70, Pontryagin descubrió el fenómeno de retrasar la pérdida de estabilidad : resultó que en sistemas analíticos rápidos-lentos con una coordenada rápida bidimensional, después de pasar el límite de estabilidad, la trayectoria puede permanecer por mucho tiempo cerca la parte ya inestable de la superficie lenta (que pasa a lo largo de ella separada de la distancia cero), y solo entonces sufre una ruptura y cambia a un movimiento rápido. En un ejemplo específico, este efecto fue estudiado en el trabajo de M. A. Shishkova [13] en 1973, realizado bajo la dirección de Pontryagin; el caso general fue analizado por A. I. Neishtadt [14] en 1985.

Un efecto similar fue descubierto por los estudiantes de J. Riba (E. Benois, J. Callot, F. Diene, M. Diene) [15] [16] a principios de los años 80 en sistemas rápido-lento con uno rápido y otro lento. variable. Estudiaron el nacimiento de un ciclo límite de relajación en el sistema Van der Pol con un parámetro adicional. Resultó que cuando en un punto fijo este parámetro pasa por un intervalo exponencialmente estrecho (en ) (es decir, un intervalo de longitud de orden ), el ciclo límite que nace de un punto singular como resultado de la bifurcación de Andronov-Hopf pasa por varios etapas de evolución antes de tomar la forma de un ciclo de relajación clásico. En este caso, resultó que para valores intermedios del parámetro, los ciclos límite correspondientes pasan cerca de algunos arcos de la parte inestable de la curva lenta. Tales trayectorias se denominaron "patos" ( canard francés , ahora también se usa pato inglés inglés ) - en parte debido al efecto contrario a la intuición, que al principio se percibió como un "pato de periódico", en parte debido a su forma, vagamente parecida a un pato volador [7] [17] . Se han encontrado soluciones de trama en varios modelos químicos, biológicos y otros. [Dieciocho] $\varepsilon$ $\varepsilon$ ${\ estilo de visualización \ exp (-C/\ varepsilon)}$

Inicialmente, las soluciones de pato se estudiaron mediante métodos de análisis no estándar , pero pronto pudieron aplicarles los métodos ya clásicos de series asintóticas (W. Ekkauz [19] , E. F. Mishchenko, A. Yu. Kolesov, Yu. S Kolesov, N. Kh Rozov [20] [21] ), y más tarde - la teoría geométrica de los sistemas singularmente perturbados (desarrollada por N. Fenichel [22] ) utilizando el método de explosión (F. Dumortier y R. Roussari [ 23] , M. Krupa y P. Smolyan [24] ). Resultó que las soluciones pato son un fenómeno "raro" en los sistemas de aviones. En particular, los ciclos de trama de atracción, que pueden detectarse en el curso de un experimento numérico , aparecen solo en presencia de un parámetro adicional, y el conjunto de valores de "trama" de este parámetro para un valor fijo es exponencialmente estrecho en . $\varepsilon$ $\varepsilon$

En 2001, Yu. S. Ilyashenko y J. Guckenheimer descubrieron [25] un comportamiento fundamentalmente nuevo para sistemas rápido-lento en un toro bidimensional. Se demostró que para alguna familia particular de sistemas, en ausencia de parámetros adicionales , para un valor arbitrariamente pequeño de , el sistema puede tener un ciclo de pato estable. Posteriormente, I. V. Shchurov mostró [26] que un fenómeno similar también se observa de manera típica, en un conjunto abierto de sistemas rápidos y lentos. $\varepsilon$

Literatura

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Notas

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↑ 1 2 V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Sistemas dinámicos - 5. VINITI, Problemas modernos de matemáticas. direcciones fundamentales. 5 , 1986.
↑ ver trabajos citados en V. I. Arnold, V. S. Afraimovich, Yu. S. Ilyashenko, L. P. Shilnikov. Sistemas dinámicos - 5. VINITI, Problemas modernos de matemáticas. direcciones fundamentales. 5 , 1986 y E. F. Mishchenko, N. Kh. Rozov , Ecuaciones diferenciales con un parámetro pequeño y oscilaciones de relajación, Moscú, Nauka, 1975.
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